偏微分をド忘れしてしまいました．

質問

偏微分をド忘れしてしまいました．
例えば，f(x,y) = x^2 + 3xy　という関数を考えたとき，
∂f/∂x = 2x + 3y
ですよね．

ここでyがxの関数，例えば　y(x) = x^4　としたら，
∂f/∂x = 2x + 3y = 2x + 3x^4　になるでしょうか，
それとも最初にf(x,y) = x^2 + 3xy = x^2 + 3x^5　としてから
∂f/∂x = 2x + 15x^4　とするのでしょうか．

回答No.1

info22 · ベストアンサー

>∂f/∂x = 2x + 3y
>ですよね．
これはxとyが独立な変数の場合の式です。

y(x)ならyは独立な変数ではないので成り立ちません。
y(x) = x^4の場合は
∂f/∂x =2x+3y+3xy'
　=2x+3y+3x*4x^3=2x+3x^4+12x^4=2x+15x^4　…(◆)
となります。

>∂f/∂x = 2x + 3y = 2x + 3x^4　になるでしょうか，
間違いです。

>それとも最初にf(x,y) = x^2 + 3xy = x^2 + 3x^5　としてから
>∂f/∂x = 2x + 15x^4　とするのでしょうか．
これも（◆）も正解です。

お礼

早速の回答ありがとうございます．
これに関連して新たな疑問が浮かんだのですが続けて質問してもよろしいでしょうか？

u = u(t)　を考えたとき，
∂u'/∂u は 必ず　0 になるのでしょうか．
またdu'/du の場合はどうですか．
(uにはtで微分したという意味のダッシュが付いています．)

回答No.5

info22

#1、#3です。

A#1,A#3の補足質問について
数式的には変形できると思いますが、
等号で結ばれた同じ式の中で、独立変数と従属変数を区別しないでちゃんぽんにして式だけの関係でもって、質問をされています。
（常）微分、偏微分とも、従属変数を独立変数で微分するのが本来の微分の意味（定義）です。
ただ数式上、等式で変形するだけで論ずるのは、本来の微分を正しく理解してみえない事からきます。
よく、微分や偏微分の定義のもどってお考え下さい。

独立変数と従属変数、独立変数と関数との違いを理解した上で、考えれば、自ずと答えが出てくるでしょう。

dy/dxとdx/dyの関係は単なる逆数の関係ではありません。
定義域内で、互いに1:1の逆関数の関係にあることがいえます。
y=x^2とx=√yが全ての実数の範囲では逆関数の関係にはありません。
（y=x^2のxの定義域で逆関数は存在しません。）
単に変数を　y⇔x^2など、交換すればいいという問題ではないです。

独立変数と従属変数、定義域（変域）と値域の関係を良く考えてみてください。

お礼

丁寧な回答ありがとうございました．
独立変数と従属変数の意味をもう一度勉強し直そうと思います．

回答No.4

Knotopolog

＃２です．
f(x) ＝ x^2,　x(t) ＝ 3t
の場合は，
f(x) ＝ (3t)^2 ＝ 9t^2
となるので，f(x) が t に関する１変数関数です．
そして，この場合は，合成関数の微分であり，偏微分ではありません．
したがって，
∂f/∂t = 0　や　∂f/∂t = 18t　という書き方はしません．
f(x) ＝ x^2,　x(t) ＝ 3t　はもともと２変数の関数ではありませんので．
したがって，偏微分は考えられません．

f(x) ＝ x^2,　x(t) ＝ 3t
に対して，合成関数の微分法を用い，
(df(x)/dx)(dx/dt) を計算することになります．これは，

df(x)/dx ＝ d(x^2)/dx ＝ 2x
dx/dt ＝ d(3t)/dt ＝ 3

(df(x)/dx)(dx/dt) ＝ 2x・3 ＝ 2・3t・3 ＝ 18t

となります．
すなわち，f(x) を t で微分（常微分）すると 18t になるということです．

お礼

続けての回答ありがとうございます．
この場合はそもそも偏微分は考えられないのですね．
理解できました．

回答No.3

info22

#1です。

>u = u(t)　を考えたとき，
>∂u'/∂u は 必ず　0 になるのでしょうか．
>またdu'/du の場合はどうですか．

∂u'/∂u の意味不明。理解困難。
u'(t)はtの一変数関数。それをtの関数uで偏微分、何を考えているのやら？？？

du'/du の意味不明。理解困難。
u'(t)はtの一変数関数。それをtの関数uで微分、何を考えているのやら？？？　関数を関数で微分？？？

偏微分、微分の定義から勉強しなおされてはいかがですか？

お礼

続けての回答ありがとうございます．
何分，微分・偏微分について混乱しておりますので違和感のある形が出てしまったかもしれません．
具体的に u = t^2　としますと，
u' = du/dt = 2t = 2√u （正の部分のみ考えました）
du'/du = 1/√u = 1/t　
ということにはならないでしょうか．（自信はないです．）

回答No.2

Knotopolog

f(x,y) ＝ x^2 ＋ 3xy を x または，y で偏微分する場合は，
２変数の関数 f(x,y) ＝ x^2 ＋ 3xy を偏微分するということであり，
x と y は，いずれも独立変数なので，他に依存はしません．

条件 y(x) ＝ x^4 を与えた瞬間， f(x,y) ＝ x^2 ＋ 3xy は
２変数の関数ではなくなり，１変数の関数 f(x,y) ＝ x^2 ＋ 3x・x^4
となります．この時点で，偏導関数はなくなり，偏微分ではなく常微分に
なります．したがって，常微分は (d/dx)f(x,y) ＝ 2x ＋ 15x^4
です．偏微分した後で，∂f/∂x ＝ 2x ＋ 3y の y に対して y ＝ x^4
を入れるのは，正しくありません．

お礼

早速の回答ありがとうございます．
恐縮ですがこれに関連した質問を新たにしてもよろしいでしょうか．

f(x) = x^2,　x(t) = 3t
を考えたとき，
∂f/∂t = 0　でしょうか，
それとも
∂f/∂t = 18t　でしょうか．