平面上に一様なrot Eがある場合の空間の電場

質問

空間に電荷が無く、即ちdiv E=0だとして、
空間内で平面状に、平面に沿った一定の向きの一様なrot Eがあって、
その他の場所ではrot E=0のとき、
もし空間内で平面に仕切られた一方の部分でE=0なら、残りの部分には一様な電場があるはずだと思うのですが、正しいでしょうか？
もし正しければ、数学的に(ベクトルの公式等を使って)説明する方法を教えてください。

回答No.1

metzner · ベストアンサー

あなたの予想は正しいと思います。

divE =0, rotE = w*d(z)

ですから（ここでd(z)はDiracのデルタ関数です。wは平面に平行な定数ベクトルです。）、
ヘルムホルツの定理を利用すると、特解のEは

E(x,y,z) = 1/(4*pi)\int dXdY w×(r-R)/|r-R|^3
= 1/(4*pi)w×\int dXdY (r-R)/|r-R|^3

ここでr=(x,y,z), R=(X,Y,0)です。
（Zで先に積分しました。デルタ関数があるのでZ=0です。）

となります。この積分は容易にできて(平面に一様電荷がある場合の電場を
求める計算と同じです)

E(x,y,z) = z/(2|z|) w×e_z

となります。（係数の計算ミスがあるかもしれませんがご容赦ください）
よってこの解は平面をはさんで向きが反対になる一様ベクトル場（平面に平行）です。
質問者さんの境界条件は片方でE=0なので、この片方をz>0とすると、

e(x,y,z) = E(x,y,z) -1/2 w×e_z

が所望の解です。よってz<0では
e(x,y,z) = -w×e_z
ですので一様電場です。

お礼

有難うございました。助かりました。
ヘルムホルツの定理を使って自分でも計算してみます。

実は、フレミングの右手の法則(E=v×B)をマクスウエルの方程式とベクトルの公式から導きたくて、質問させて頂きました。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7042591.html
ご回答頂いた内容が理解できたら、次は右手の法則に挑戦してみたいと思います。