さいころの確率の計算教えて!

質問

二つのさいころを投げるとき、小さいほうの目をa、大きいほうの目をbとすると、
a分のbが整数となる確率って、どうやって出すんですか?

回答No.16

B-juggler · ベストアンサー

とりあえず、（４／９）で間違いない。

　＃ただし、ａ＝ｂ　を含まないときね。

これに文句はつけないよ。

サイコロ二つのときの考え方ね、場合の数だけど、

やはりちょっと怖いな。　危ない気がするよ。

悪いちょっとカマをかけたんだけど、図に挙げた例ね、

あれダメなんだよ。

　＃気がつかなかったか・・・。

高校の入試？　それならそれでいいかもしれないね。

本質は知って置いて損はないよ。

まずちょっと補足のほうね。

＞A1-B1, A1-B2.....のようなAから始まる組み合わせ36組と
＞B1-A1, B1-A2.....のようなBから始まる組み合わせ36個で
＞合計72通りとなると思いますが・・・。違いますか?

これ、違うよ。

これは、異なる二つのサイコロを（今Ａ、とＢとします）、

一つずつ投げるとき。　を考えています。

　＃Ａを先に投げるか、Ｂを先に投げるかの違いね。

一個ずつ投げるんじゃないね。同時に二つだね、問題では。

しかも区別がない。

３６通りというのは、６×６だね。　一個ずつ２回投げているのと同じだね。

ここいいかな？

いまは、同時に投げるでしょう二つ。

だから、後先がないのね。

（１，２）の目が出た。これは（２，１）の目が出たと同じだね。
　＃同時に二つ投げたときはね。

一個ずつ二回投げたときは、（１，２）と（２，１）は違うね。

　＃これは後先が違う。

　＃実は二回投げるということは、サイコロを区別しているのと同じなんだ。

ここの違いは難しいけど、どうせ将来きっちり叩き込まれるから、

今わかっておく必要もないけど、先に分かっておくほうがいいのだけどね。

区別のないさいころについて、一つずつ二回投げると、３６通り。

おなじく、二つを同時に投げると、１８通りとして構わない。

１８通りとして構わない理由は、（１，２）も（２，１）も一緒としていいから、ね。

これはちゃんとした絵を上げなおします。

う～ん、カマかけてすまなかったけど、ちょっと残念だな。

威勢がいいから、分かるかなと思ったんだけどな。

　＃これぐらい威勢がいい方がいいんだよ、迷惑かけない程度にね♪

若いときは反発するくらいでもいいんだよ♪

もしも　ａ＝ｂ　を含むときは、３個増えるから（３６通りとしていれば６個）、

（１１／１８）になるよ。　答えはこれで間違いないから。

１８通りとできますよの絵の中で、分かりにくいかもしれないけど、ゾロ目のところね。

半分に切ります。なので、（１／２）マス　と思ってください。

それが６個あるね。　だからゾロ目は３マス　と数えて構わない。

これを知っていれば他にも応用が利くから。

顔が見えないからね、相手がどう思うかというのは、常に

気を配っておいたほうがいい。

ここはやさしいからね、特に数学は。

余り行き過ぎないようにね。

場合の数や組み合わせは、どうもね、この頃学校でやらないみたいだね。

結構難しいんだ。冷静に数え上げたり、重複させないように、ね。

分からなかったら飛ばしていいよ。

どうせ後から出てくるだろうし、でてきたときに「なんだこれ？」と思うかもしれないけど。

冷静に一つずつね。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

なんだか頭がしびれてきました。

所詮、まる投げするレベルで数学頭じゃないんです。
英語のほうが向いていて・・・。
ちょっと柄にもなく難しい話に無理して付き合ってしまって
深みにはまっておぼれかけてるような・・・。
苦しくなってきました。

とりあえず高校入試レベルでは
16／36で、4／９でいいというお墨付きを
もらったので大満足です。

区別のないさいころ二つを同時に投げるときの
目の組み合わせが18通りでいいことは絵を見て理解できました。

中学の教科書では、6×6の表しかないから、
必ず36しかないと思っていましたが、
半分の18を分母に考える方法が
あったと分かったのは新鮮でした。

B-jugglerさんには本当にお世話になりました。
やさしく根気強いすばらしい先生ですね。
早く体を直して大学生に楽しい語り口で
数学の面白さを伝えてください。

本当にありがとうございました。
また、別の問題でお世話になるかな?
とにかく数学は苦手で・・・。

お元気で！

回答No.20

andy_kun

喧嘩するつもりはないけど、本当に数学を教えてるの？＞＃１９
21通りは書きゃ分かるでしょ。
サイコロに区別が無ければ出る目の組み合わせは
1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6
2-2 2-3 2-4 2-5 2-6
3-3 3-4 3-5 3-6
4-4 4-5 4-6
5-5 5-6
6-6
の21通りでしょ。
大体説明するときにさいころをA,Bとするとか言っている時点でさいころを区別してるでしょ。

お礼

21通りで悩んでいます。

もしこの考え方だと、例えば、

「２つのさいころを投げたとき、目の和が偶数になる確率を求めよ」
を考えたとき、

1-1 1-3 1-5
2-2 2-4 2-6
3-3 3-5
4-4 4-6
5-5
6-6

の12通りとなって、
確率は12／21＝4／7になってしまうので変なことに
なりませんか？

「偶数になる確率」も「奇数になる確率」も
1／2でないと・・・。

さいころをA、Bとするのは区別しているんじゃなくて、
何通りかを考えるための便宜上の方便じゃないんでしょうか?

どうなんでしょう、実際のところは?

回答No.19

B-juggler

変な混乱があるね。

Ｎｏ，１７さん。けんかするつもりはないよ～。

さいころの目の出方は、　６×６＝３６とおりです。

これに間違いはないのです。

ただこの問題の場合は、（１，２）＝（２，１）として構わない。

　＃つまりサイコロに区別がない。
　＃どっちが１でどっちが２でも構わない。ということです。

私は、数学　をやっているだけですので、受験数学の

その場しのぎはやるつもりはありませんよ　ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ

　＃腐っても数学屋なんで＾＾；

重複組み合わせがでていますが、おそらく　6Ｈ2　だと思うんだけど、

そうはならないですね・・・。

何でこれがでてきたのかは見当がつきません。

！　←　この記号ですが、　これは階乗という記号です。

３！　＝　３×２×１　＝６　という具合に、一つずつ減らしながら掛けていくという計算記号です。

よく使うのは、競馬の馬番連勝とか　ヽ（・∀・）ノ　ワチョーイ　

１６頭立て、三連単　だと、16Ｐ3　こう書くのですが、

（１６）！／（１６－３）！　＝１６×１５×１４＝３３６０　Σ('◇'*)エェッ!?

３３６０通りもあるのか～。当たらないはずだ＾＾；

ちょっと横道にそれましたけど、２１通りというのは、何故でてくるんだろうか・・・。

う～ん、半分に切ったσ(・・*)の絵で、ぞろ目のところが三角形ですね。

　＃　なので　（１／２）マスとしました。

これを、一マスと数えれば、２１マス　（２１とおり）　ではありますね・・

これのことなのかなぁ？

数字だけなら１１通りだしね・・・。

う～ん、３６通りでこの場合は、１８通りで構わないと考えられる。

ってだけなので、理解できかねます。

受験数学でも数学から外れているわけではないから、この理は通用しないと思うけど。

まぁまぁ、そういうことはどうでも良くて、

今回のは　ただ　！　階乗の記号を説明しておこうかなと思って。

心配をしていただいたので、そのお礼です。

　＃σ(・・*)失語症が出ることがあって、急に言葉が出ないことがあるんです。
　＃甲状腺の障害が絡んでいるらしい＞＜

ご心配ありがとうございます　ｍ（＿　＿）ｍ

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

頭の悪い質問者の再登場です。

私も18通りという考えでいいと思うんですが・・・。
なぜ「ちがう!!」なのか分からない・・・。
21通りでいいのだろうか、受験問題・・・。

重複組み合わせは無理そうなので避けてと、
（！）の意味は分かりました。
階乗というんですね。
またワンランク数学頭に近づけました。
ハイレベルな（自称）英語頭にまもなく追いつく？

失語症じゃ教える仕事は大変だ!
でも人生雨の日ばかりじゃないし・・・。
晴れなくても、高曇りの日を待ちましょう!

いつもありがとう!

回答No.18

Ishiwara

＃１４です。
お恥ずかしいミスで、お詫び！
「お礼」でご指摘なさったとおりです。

お礼

いえ、いえ、お恥ずかしいのは私のほうです。

アホな頭で柄にもなく数学話に
頭を突っ込んで場違いでした。

でも、これからはさいころの確率問題では
ちょっとリキが入りそうです。
今、類題を解いていますが、たのし～ですね～!

いや、いけない、いけない!
「楽しいですねえ！」と言い換えます。
言葉も大事にしないと・・・。

色々学ばせてもらいました。
「教えてgoo」は最高だ!!

ありがとう!

回答No.17

andy_kun

＞でも、（1,2）と（2,1）を同じと考える
＞全部で18通りという考え方もあるんですね。
違う！！
受験用数学であれば以下の2つの前提は通常書かない
１．さいころの各面の出る確率は同一で１／６
２．２つのさいころは区別がつく
だから組合せは３６通りでよく１／１等を含まないなら確率も４／９になる。

が、本当にさいころに区別が無ければ組合せは２１通りになるんだね。
６個から重複を許して２個選ぶ場合の組合せになるから
（６＋２－１）！／２！（６－１）！＝２１
この場合は１／１等を含まなければ８／２１に、含むなら１４／２１＝２／３になるわけ

お礼

う、う、うっ・・・

「ちがう！！」といわれてもどう違うのか・・・。

「・・・が、本当にさいころに区別が無ければ・・・」からは
ちょっと私の頭を超えた世界で・・・。

すみませんが（！）の意味も分かりかねます。
数学記号ですか?
私、もうこの場を退散したほうがいいと思います。
頭悪いんです。すみません。

でもけんけんがくがくのなかで
4／9でいいということに落ち着いたようなので
満足です。

この場を借りて、頭の悪い私の丸投げ質問に
根気強くお付き合いくださった皆様に
心から感謝いたします。

愛媛の山奥から東西南北に向かって
最敬礼します。

みなさんありがとう。

回答No.15

noname#158634

なぜこんなに長引いてる…？
もういいや。以下答え。

二つのさいころの出目の組み合わせは36通り。
同じ目の組み合わせを除外するのであれば36-6=30通り。
二つのさいころに区別がないから半分の15通り。
ということで、同じ目の組み合わせを除外するのであれば分母は15。
で、a分のbが整数になるのは
1-2、1-3、1-4、1-5、1-6
2-4、2-6
3-6
の8通り。
以上がa=bを除いた場合。

もしa=bを含むなら、
全体の場合の数は
1-1
2-2
3-3
4-4
5-5
6-6
を含み21通り。
「a分のbが整数」は
同じく上記の6通りを含むので14通り。

以上です。

お礼

本当にこれでいいんですか!?

No.９とNo.10への「お礼」に書いた私のやり方や
No.11の方の考え方（私と同じですが）が正解のような
気がしますが。(a=bは問題文からいって入らないと
おもいますが。）

この問題って、そんなにいろいろな答えが出るほど
複雑なんですか?

公立高校の入試問題なんですが…。

誰か～、高校の数学の先生いませんか～？
あっ、中学の先生でもいいのか!

こんなにけんけんがくがくになるとは思わなかった…。
どおりで最初見たとき、分けが分からなかったはずです。

回答No.14

Ishiwara

この手の問題は「解析的に解く（理屈を考えながら解く）」か「しらみつぶしで解く」かを決めます。
ここでは、しらみつぶしが良いようです。（近ごろはあまりシラミを見かけませんが）
（1,2●）（1,3●）（1,4●）（1,5●）（1,6●）
（2,3）（2,4●）（2,5）（2,6●）
（3,4）（3.5）（3,6●）
（4,5）（4,6）
（5,6）
すべての組合せ３６とおりのうち上記●（８とおり）だけが該当します。

お礼

36通りの組み合わせの中には
逆からの組み合わせ
(2,1)(3,1)(4,1)(4,2)(5,1)(6,1)(6,2)(6,3)
も含まれているので、全部で16通りだと思いますが。

もし8通りと考えると確率は
36分の8で9分の2になりますが、

正しくは16通りで、確率は
36分の16で9分の4が正解のような気がします。

どうでしょうか？

回答No.13

andy_kun

２つのさいころに区別が無いのに何故出る目の組み合わせが３６通りなんだろう？
もしかして２つのさいころは１個づつ別々に振る？
さいころじゃなくて箱の中に１～６までの数字が書かれたボールを二組いれて、
箱の中からボールを２つ取る時のボールの組み合わせは３６通りなの？

お礼

何でこの人は36通りに疑問を挟むの?
とふしぎに思っていましたが、
半分の18通りという考え方もあるんですね。

中学の教科書にはたて1～6、横1～6の表があって、
いっつももこれで考えていたから、
36通り以外の考え方を知りませんでした。

でも、（1,2）と（2,1）を同じと考える
全部で18通りという考え方もあるんですね。
さいころのときはいつも別々に数えて分母を36に
して確率を求めていました。

結局約分すれば答えは同じですが、
18通りのほうが頭良さそうですね。
きっと中学生は36通りのほうが
分かりやすいだろうと思って
そう教えているんですね。

一つ頭良くなりました。ありがとう!

回答No.12

B-juggler

何か勘違いをしてあるようですね。

ＮＥＴスラング　と意識してなくて、　「どおですか？」とかいてあるなら

「どうですか？」の間違いね。

σ(・・*)の補足にしたってね、

確認した方がいいと思うよ、と書いているのですから、

する必要がない！　と言う趣旨のことを書くのなら、

むしろ書かないほうがいいのではないかな？

だまって、確認してみます　でもいいはずね。

寝ないで考えました（うそ）　う～ん、ほんとに寝てないけど？

聞いているんだから、余りふざけて書いちゃダメだよ。

この書き方だったらね　ａ＝ｂ　でも構わないですよ～　と

みんなではないけど言ってあります。

だったらね、二つ出しておいてもいいかもよ？

えっと、サイコロを区別したら、７２通りになる？

何故かな？　掛け算の九九と同じでね、半分でいいのよ。。

多分こんな表を書いたと思うけど（下に図示）、本当に全部書く必要があるかな？

それ考えてみた？

そこを言っているんだよ？

学校でどう習うとか、そういうことは別の話。

１＋１＝２　が正しい。それ以外に答えがない。

なんてことになりかねないね。

　＃　１＋１＝１＋１　でしかないんだけどね。　こうしておけば
　＃どんな状態でも成立する。　二進数だろうが、＋演算子が違っていようが、ね。

答えがあってればそれでいいわけじゃない。

どう考えたかが問題。

できるだけ簡単に解けた方がいいと思わない？

しかし、二つのサイコロが区別されているときに、７２通りというのは、

少しおかしいよ。何故そうなって、それが間違いなのかは自分で考えてね。

後は図示します。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

ちょっと慣れると、下のほうが圧倒的に楽になる。
　＃そもそもこんな風に図を作らないからなぁ。

かえって難しく感じるかもしれないね。
そういう時は、今までどおりか、絵を書かないで考えるかです。

お礼

確認しましたよ。

で、なぜ、

「目の出方が全部で３６通り」を

正しいかどうか

とおっしゃるのかが分かりません。
正しくないですか?

それと、まあさいころ2個の目の組み合わせは36通り
が普通の考え方だと思いますが、わざとさいころに区別をつければ
（意味ないですが）

A1-B1, A1-B2.....のようなAから始まる組み合わせ36組と
B1-A1, B1-A2.....のようなBから始まる組み合わせ36個で
合計72通りとなると思いますが・・・。違いますか?

まあ、みんな36通りで考えると思うので72通りは
意味ないと思いますが。

結局、この問題の解答はNo.9とNo.10のお礼に書いた結論
9分の4でいいのではないでしょうか?

回答No.11

yyssaa

a<bとして回答します。
二つのさいころをＡとＢとします。
ＡもＢも１～６の６通りの目をもつので、ＡとＢの目の組合せの数は６×６
＝３６通りです。
ａが１のときにa分のbが整数となるbは２、３、４、５、６であり、ａとｂの
組合せの数は５通りです。
ａが２のときにa分のbが整数となるbは４、６であり、ａとｂの組合せの数は
２通りです。
ａが３のときにa分のbが整数となるbは６だけであり、ａとｂの組合せの数は
１通りです。
ａが４以上のときはa分のbが整数となるbはありません。
以上からａが１または２または３でa分のbが整数となる組合せの数は合計
５＋２＋１＝８通りになります。
この組合せの数はさいころＡの目がさいころＢの目より小さい場合に８通り、
逆にさいころＢの目がさいころＡの目より小さい場合にも同じく８通りなので、
合計１６通りになります。
この１６通りの組合せのうちのいずれかの組合せが発生する確率は１６÷３６
＝９分の４です。
よって答は「９分の４」となります。

お礼

そうですよね。

私も全く同じ考え方で、同じ答えにたどり着きました。

心強い!

ありがとうございました。

しかし、さいころ二つで36通りじゃないと言う方は
ほかにどんな組み合わせを考えているんでしょうか？

回答No.10

B-juggler

えっとね、確認したほうがいいよ。Ｎｏ．８ね。

ａ＝ｂでも　成り立つから。

大きい目と小さい目が等しい。

これはおかしくはないから。　ａ＜ｂ　こう書いてあればいいけど。

もう一つ、これもちゃんと考えた方がいいよ。

サイコロに区別がないから、「目の出方が全部で３６通り」を

正しいかどうか、もう一つ、「整数になる目が何通りか」　は、

しっかり考えておいたほうがいいよ。

いい機会だからね。これは多分ね、余計なものまで数えてしまっていると思うよ。

　＃半分でいいはずなんだけどね、両方。

Ｎｏ．８に書きかけた、整数になる目の出方は　２　で割らなくてもいいから、

「全部の目の出方」は２で割って構わない　けどね。

答えが一緒になるからいいじゃない～～～。と思うかもしれないけど、

複雑になってくると、数え上げがきつくなるから、できるだけ少なくしておいたほうがいいよ。

丸投げはね、分からないのは恥じゃない。

「分かろうとしないのが一番恥ずかしい」。

最初から分かっている人間はいないんだから！

教えてもらっているんだから（しかもただで！）、聞く耳と

素直に習う心でもって、努力しなきゃ。

　「？？？？？？」　こんなことかいていたらダメだよ。

次からやらないことだよ。

調べられることはちゃんと調べる。

分からないのならどう分からないか、ちゃんと書く。

他人様に聞いているんだから、不愉快にさせてはいけないよ。

　＃ＮＥＴスラングなんかは、やめたほうがいいし、
　＃友達と話しているんじゃないんだからね。

（＝＾． ．＾＝）　ｍ（＿　＿）ｍ　（＝＾． ．＾＝）

お礼

う～ん、ますます分からなくなりました。

二つのさいころの確率の問題では、
さいころの違いは普通考えませんから、
二つのさいころの目の出方の組み合わせは

1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6
2-1, 2-2, 2-3, 2-4, 2-5, 2-6
〃
〃
〃
〃

で、36通りと考えるのではないでしょうか？
違いを考えるのであればその倍の72通りに
なるはずですが。中学の教科書や高校の
入試問題ではすべて36通りで考えることになっていますよ。

あと、「小さい方の目」分の「大きい方の目」
が例えば「3分の3では」わざわざ「小さい」「大きい」
と問題に示す意味がないので
同じ場合は含まないのではないでしょうか?

それなら単に「片方の目を他方の目で割ると整数になる場合」
と書いてあるはずではないでしょうか?

ということで、寝ないで考えましたが（うそ）、
組み合わせは下の「お礼」に書いたとおりで、
16通りで、答えは9分の4になると思いますが。

もしさいころの違いを考えて72通りになるとしたら、
組み合わせは倍の32通りですから、
約分すれば同じ9分の4になると思うのですが。

「考えたほうがいいよ」と言われるので
考えに考えました。

もし別の答えがあるのなら
ぜひ示して欲しいです。

あと、NETスラングって何ですか?

????????は失礼だったので反省しました。
すべて言葉で表すことにしました。
それ以外に回答者を不愉快にした
「お礼」ってどれでしょうか?
今後の参考のためにお尋ねしました。
2度もご丁寧にありがとうございました。
お元気になってほしいです!

さて、別の答えはどういうのがあるのでしょうか?