P(x)が（xーa）^2で割りきれることを示せ

質問

問題：P(x)=x^n-xna^(n-1)+(n-1)a^n(n≧2)・・・＊が（xーa）^2で割りきれることを示せ
回答はP（x)=(x-a)^2・Q(x)+Ax+Bとおいて
P(a)=aA+B、P'(x)=A
＊についても
P(a)=0、P'(a)=0と求めて、A＝B＝０と導いてました。
この回答について質問です。
質問１：どうして微分したんですか？（２つの未知数のうちのAが消えるからですか？）また微分が１回だったのは未知数がAとBの２つだったからですか？
質問２：この回答がやっているのは、P（a）とP'(a)を２通りに分けて考えて数値を比較しているという解釈でいいですか？

頭が悪いので意味不明なところがあるかもしれませんが、できるだけわかりやすく教えてください・お願いします。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

問題の「解答」をきちんと書いてないでしょう？
何を前提として何を導きたいのかが
ごちゃごちゃになってる
＃だから，No.1の「回答」も混乱してる？

>P(a)=aA+B、P'(x)=A
P(a)=aA+B、P'(a)=A
の間違いでしょう．

解答を整理しましょう．
ついでに少しだけテクニックを

P(x)=(x-a)^2・Q(x)+A(x-a)+B ・・・(1)＃この一次式のおき方がこのときの定石
とおく
P(x)=x^n-xna^(n-1)+(n-1)a^n
なので
P(a)=a^n -na^n + (n-1)a^n =0
一方，(1)より
P(a)=B
したがって，B=0
次に，
P'(x)を考えると
P'(x)= nx^{n-1} - na^{n-1}
なので，P'(a)=0
(1)より P'(x)=2(x-a)Q(x)+(x-a)^2Q'(x)+A なので
P'(a)=A
したがって，A=0
よって
P(x)=(x-a)^2・Q(x)
つまり，P(x)は(x-1)^2で割り切れる

微分をするというのは実はよくやる手で
理由はいろいろありますが，今回は
定数項が消える（Bが消える，決してAではない）ことです．
そうすることで，考える対象がへることが期待できます．
＃ほかにも「次数を下げて計算が簡単になることを期待する」場合もあり，
＃次数下げは本質的には「近似」ですが
＃そもそも微分というもの自体が関数を接線で近似させるという手段です．

これが質問1への「回答」

>質問２：この回答がやっているのは、P（a）とP'(a)を２通りに分けて考えて数値を比較しているという解釈でいいですか？

そう．未知数が二つあるから，二つの式をつくる
その過程で「同じものを二つの方法で表して方程式を作る」のを二回やってるのです．

実は以下のようなことが知られています．

多項式P(x)が(x-a)^2で割り切れるための必要十分条件は
P(a)=P'(a)=0
です．因数定理の発展形です

証明はきわめて簡単。というかこの問題の解答とほとんど同じ

P(x)が(x-a)^2で割り切れれば
P(x)=(x-a)^2 Q(x)とかけるのでP(a)=P'(a)=0
逆にP(a)=P'(a)=0だとすれば
P(x)=(x-a)^2・Q(x)+A(x-a)+B
とおけば
P(a)=0よりB=0
P'(a)=0よりA=0
だから
P(x)は(x-a)^2で割り切れる

もっと一般に
多項式P(x)が(x-a)^nで割り切れるための必要十分条件も
微分を使って表現できるし
その証明は本質的には上のと同じで
帰納法を組み合わせるだけです．

お礼

回答は全部載せたほうがよかったですかね・・・・・・

ありがとうございました。

回答No.1

noname#224896

＞問題：P(x)=x^n-xna^(n-1)+(n-1)a^n(n≧2)・・・＊が（xーa）^2で割りきれることを示せ
＞回答はP（x)=(x-a)^2・Q(x)+Ax+Bとおいて
＞P(a)=aA+B、P'(x)=A
＞＊についても
＞P(a)=0、P'(a)=0と求めて、A＝B＝０と導いてました。
＞この回答について質問です。
＞質問１：どうして微分したんですか？
＞（２つの未知数のうちのAが消えるからですか？）
＞また微分が１回だったのは未知数がAとBの２つだったからですか？

P（x)=(x-a)^2・Q(x)+Ax+Bとおいたから，
Ａ＝Ｂ＝０にするように解答方法をする必要があるからです．

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仮に，問題：P(x)=x^n-xna^(n-1)+(n-1)a^n(n≧2)・・・＊が
（xーa）^２ではなく，（xーa）^３
で割りきれることを示せ
としたら，

P（x)=(x-a)^2・Q(x)+Ax^2+Bx+Cとおく必要があり，
その際，
P(a)=0、P'(a)=0，P’’(a)=0と求めて、A＝B＝Ｃ＝０
とする必要があります．
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＞質問２：この回答がやっているのは、P（a）とP'(a)を２通りに分けて考えて数値を比較しているという解釈でいいですか？
２通りではなく，必ず２つ必要なのです．
何故ならば，判らない変数がＡとＢと２つあるからです．
変数の数に応じて，方程式が必要です．

P（x)が(x-a)^2で割り切れるということは，
P（x)=(x-a)^2・Q(x)+Ax+B
P（a)=(a-a)^2・Q(x)+Aa+B
　　　＝０＊Q(x)+Aa+B
　　＝Ａa+Ｂ

この問題で重要なことは，
重要なことは，P（x)のなかで，(x-a)^2・Q(x)という項が，x=aの時、０＊Q(x)＝０となることを利用しているのです．
割り切れなければならないので，Ａa+B=0という方程式が１つ出来ます．
これだけではＡもＢも判らないので，
微分する必要があるのです．
P'(x)=2(x-a)Q(x)+(x-a)^2Q'(x) + A
P'(a)=2(a-a)Q(x)+(a-a)^2Q'(a) + A
P'(a)=A=0である必要があります．
すると，
Ａa+B=0にＡ＝０を代入すると，Ｂ＝０となります．

つまり，P（x)=(x-a)^2・Q(x)という形式になるので，P（x)は(x-a)^2で割り切れる．と言えるのです．
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最初は何をやっているのか不思議に思うでしょうが，
慣れることです．
決して苦手意識を持たないこと，そして自分を卑下しないことです．
頑張ってくださいね＾＾

お礼

ありがとうございます。わかりやすかったです