不動直線

質問

直線の一致条件に疑問があるので、質問します。
固有値などは使わず、高校数学の範囲での解答をお願いします。
行列は[]で一つの行列を表し、{}を一行分とし、列をカンマで区切って表します、お願いします。下記の行列では2列目の成分は、一行目が-1,2行目が3です。お願いします。
問題は、行列[{2,-1}{-2,3}]で表される1次変換によって、自分自身にうつされる直線の方程式を求めよ。とういうものです。
解答では、求める直線ax+by+c=0(a≠0またはb≠0)・・・(1)とおくと(1)上の点(x,y)の像(x',y')は(1)上にあるから、ax'+by'+c=0・・・(2)
[{x'} {y'}]=[{2,-1}{-2,3}][{x} {y}]より x'=2x-y,y'=-2x+3yを(2)に代入すると
(2a-2b)x+(-a+3b)y+c=0・・・(3) (3)は(1)と同じ直線を表すから、
(ア)c≠0のとき　2a-2b=a -a+3b=b より　a=2b≠0 このとき(1)は2x+y+k=0 (k=c/b≠0)と表される。
(イ)c=0のとき　 (2a-2b)/a=(-a+3b)/b　より　
a^2-ab-2b^2=(a+b)(a-2b)=0 よって a=-b≠0,a=2b≠0このとき(1)は
x-y=0,2x+y=0となる。
(ア)(イ)より求める直線は、x-y=0,2x+y+k=0(kは任意の実数)。
となっていました。
インターネットで調べたら、(ア)のように(3)と(1)のxの係数どうし、yの係数どうしが同じだから同じ直線とはいえない。例えば、x+y+1=0と2x+2y+2=0は同じ直線だが、xの係数どうし、yの係数どうしがちがう。
(ア)の場合は、(3)と(1)のcの値が同じだから、直線の定数倍は考えず、完全な一致しか考えられないのかと思ったのですが、(イ)の場合でもcの値が同じ(両方0)だから、おかしいと思ったりしました。不動直線が原点を通る、通らないで、なにか違うかとインターネットで調べましたが、解決の糸口はみつかりませんでした。
どなたか、どうして(ア)のように、係数比較でよいのかを教えてください。お願いします。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

そういうのを自分で証明を考えてみるのが、数学の楽しみの一つではあると思うですけどね。

ax+by+c=0 (I), dx+ey+c = 0 (II), c≠0が同一の直線を表すとして、仮にa≠dとする。
するとaとdの少なくとも一方は0でない。aが0でないとすると(I)は(-c/a, 0)を通るが、d(-c/a) + e*0 + c = (c/a)(-d+a)≠0なので（何故なら『c≠0』だから）(II)は(-c/a, 0)を通らないから矛盾である。dが0でないとしても同様。

b≠eの場合も同様。従って、c≠0の時、(I)(II)が同一の直線を表しているのなら a=d, b=eである。

お礼

（何故なら『c≠0』だから）という文章と、cを含む方程式を利用するという考えがヒントになりました。
c≠0の時　2直線の傾きと切片を求めて、傾きどうしと切片どうしが等しいとしたら、切片どうしの方程式から、b=eが求まりそれを代入した、傾きどうしの方程式から、a=dが求まりました。
回答自体も何とか理解できそうです。ありがとうございます。