三角形OABにおいて、辺OAを1:2に内分する点を

質問

C、辺OBを３；１に内分する点をＤ，ＡＤとBCの交点をPとする。OAベクトル＝aベクトル、
OBベクトル＝bベクトルとする時、次の問いに答えよ。
(1)
AP：PD＝t:1-t(0＜ｔ＜1）とおくとき、OPベクトルをaベクトルとbベクトルとtを用いて表せ。
(2)
OPベクトルをaベクトルとbベクトルを用いて表せ。
(3)
直線OPと辺ABとの交点をEとする時、AE:ＥＢを求めよ。
(4)
∠AOB=90°、OPベクトル⊥ABベクトルであるとき、OA:OB:ＡＢを求めよ。

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

＞ベクトルを↑で表すと
(1)
AP：PD＝t:1-t(0＜ｔ＜1）とおくとき、OPベクトルをaベクトルとbベクトルと
tを用いて表せ。
＞↑OP=↑OA+↑AP=↑a+t↑AD=↑a+t{(3/4)↑b-↑a}
=(1-t)↑a+(3t/4)↑b・・・答
(2)
OPベクトルをaベクトルとbベクトルを用いて表せ。
＞メネラウスの定理(AC/CO)*(OB/BD)*(DP/PA)=1により
(2/1)*(4/1)*(1-t)/t=1を解いてt=8/9
よって、↑OP=(1-8/9)↑a+(3*8/4*9)↑b
=(1/9)↑a+(2/3)↑b・・・答
(3)
直線OPと辺ABとの交点をEとする時、AE:ＥＢを求めよ。
＞メネラウスの定理(AE/EB)*(BO/OD)*(DP/PA)=1により
(AE/EB)*(4/3)*(1-t)/t=1
AE/EB=3t/4(1-t)=6/1、よってAE:EB=6:1・・・答
(4)
∠AOB=90°、OPベクトル⊥ABベクトルであるとき、OA:OB:ＡＢを求めよ。
＞↑AB・↑OP=0だから
↑AB・↑OP=(↑b-↑a)・{(1/9)↑a+(2/3)↑b}
=(1/9)↑b・↑a+(2/3)↑b・↑b-(1/9)↑a・↑a-(2/3)↑a・↑b
=(2/3)|↑b|^2-(1/9)|↑a|^2=0だから6OB^2=OA^2、OA=(√6)OB
OA^2+OB^2=AB^2だからAB^2=7OB^2、AB=(√7)OB、よって
OA:OB:AB=(√6)OB:OB:(√7)OB=√6:1:√7・・・答

回答No.2

gohtraw

ベクトル記号は省略します。
（１）OP＝OA＋AP
　　　　＝OA＋ｔ・AD　・・・（あ）
AD＝OD－OA
　　＝３OB／４－OA　・・・（い）
よって（あ）に（い）を代入すると
OP=OA＋ｔ（３OB／４－OA)
　　＝（１－ｔ）OA＋３ｔ・OB／４
　　＝（１－ｔ）ａ＋３ｔ・ｂ／４

（２）
CP：PB＝ｓ：１－ｓ　（０＜ｓ＜１）とすると、
OP=OC＋CP
　　＝OA／３＋ｓ・CB　・・・（う）
CB＝OB－OC
　　＝OB－OA／３　・・・（え）
なので、（え）を（う）に代入すると
OP=OA／３＋ｓ（OB-ＯＡ／３）
　　＝（１－ｓ）ＯＡ／３＋ｓ・ＯＢ
　　＝（１－ｓ）ａ／３＋ｓ・ｂ　・・・（お）
（１）の結果と（お）は同じベクトルを表しているので
両者におけるａおよびｂの係数は等しい。よって
１－ｔ＝（１－ｓ）／３
３ｔ／４＝ｓ
１－ｔ＝（１－３ｔ／４）／３
　　　＝１／３－ｔ／４
２／３＝３ｔ／４
ｔ＝８／９、ｓ＝２／３
よって
OP=（１－ｓ）ａ／３＋ｓ・ｂ
　　＝ａ／９＋２ｂ／３

（３）
ＡＥ：ＥＢ＝ｕ：１－ｕ（０＜ｕ＜１）　とすると、
ＯＥ＝（１－ｕ）ａ＋ｕ／ｂ　・・・（か）

一方ＥはＯＰの延長線上にあるので
ＯＥ＝ｖ・ＯＰ　（ｖは実数）　と表される。従って（２）の結果より
ＯＥ＝ｖ・ａ／９＋２ｖ・ｂ／３　・・・（き）
（か）と（き）は同じベクトルを表しているので、両者におけるａ，ｂの
係数は等しい。よって
１－ｕ＝v/9
ｕ＝２ｖ／３
ｖ＝９／７、ｕ＝６／７
このｕの値よりＡＥ：EB＝６：１

（４）
∠ＡＯＢ＝直角なので、点Ｏをｘｙ平面の原点、点Ｂをｘ軸上、
点Ａをｙ軸上にとり、点ＡとＢの座標をそれぞれ（０、ｙ）および（ｘ、０）
（ｘ＞０、ｙ＞０）とすると、ａおよびｂはそれぞれ（０、ｙ）および（ｘ、０）と
成分表示できる。

ベクトルＡＢ＝ｂ－ａ
　　　　　　　＝（ｘ、－ｙ）　・・・（く）
また、上記の結果より
ＯＥ＝ａ／７＋６ｂ／７
　　　＝（６ｘ／７、ｙ／７）　・・・（け）
ＯＰとＡＢが直交するのであればＯＥとＡＢも直交する。つまりＯＥとＡＢの
内積はゼロになるので（く）および（け）より内積を求めると
６ｘ＾２／７－ｙ＾２／７＝０
６ｘ＾２＝ｙ＾２
これより
ｙ＝√６ｘ
よってＯＡ：ＯＢ＝√６：１　であり、三平方の定理より
ＯＡ：ＯＢ：ＡＢ＝√６：１：√７

回答No.1

spring135

Cと⊿OABの関係が不明です。説明してください。