三角関数の積分

質問

∫(a*sin(t))^3/2dt (aは定数)

sin(t)を置換して計算してみたのですが途中でこんがらがってしまいました
よろしければこの問題の解き方を解説していただけないでしょうか

回答No.3

KENZOU · ベストアンサー

＃２のrabbit_catさんのご回答に対して
＞楕円関数を使えば積分可能ということで少し希望が出てきました。
という事ですが，楕円関数を使った積分は，これがなかなか手ごわい。。。(笑い）　ということで参考URLの積分サービスを活用する手があります。そこの枠に
(a*Sin[t])^(3/2)
と打ち込んで計算させてください。答えが即でてきます。尚，大文字や括弧はこの通り打ち込んでくださいね。

参考URL：

http://integrals.wolfram.com/index.jsp

お礼

回答ありがとうございます。
本を借りたはいいものの私にとっては複雑で困っていたのですが
おかげさまで積分した式を得ることができました。

追記ですが、リンク先はxで積分しているのでSin[t]はSin[x]に置き換えてよろしいんですよね？

回答No.2

rabbit_cat

高校生ですか？
この積分は初等関数の範囲では不可能ですが、
x=√sint
と置換してやれば、第1種楕円関数を使って、一応、積分可能です。

お礼

アドバイスありがとうございます。
一応大学生なのですが数学が全然駄目なものでお恥ずかしい限りです。

楕円関数を使えば積分可能ということで少し希望が出てきました。
図書館で本でも借りて勉強してみようと思います。

回答No.1

shu17

僕には2通りに解釈できたんですが、「3乗の2分の1」という意味なら、式は指数法則(積分しようとしている式で)により、

　(1/2)*∫{(a^3)*(sin^3(t))}dt

と変形でき、aが定数ということなので、

　((a^3)/2)*∫(sin^3(t))dt

となります。ここで、

　∫(sin^3(t))dt
＝∫{1-(cos^2(t))}sin(t)dt

　cos(t)＝zとおくと -sin(t)dt＝dz　

　よって

　∫(sin^3(t))dt
＝-∫(1-(z^2))dz
＝-z+((z^3)/3)+C
＝-cos(t)+{(cos^3(t))/3}+C　(Cは積分定数)

となります。だからsaganaeさんが質問されたのは

　∫(a*sin(t))^3/2dt
＝-{((a^3)*cos(t))/2}+{((a^3)*(cos^3(t)))/6}+C　(Cは積分定数)

ということになります。
（括弧多くてすいません。紙にでも分かりやすいように書いてみてください）

　そして、「（3/2）乗」という意味なら、式は、

　∫a*sin(t)√(a*sin(t))dt
＝(a√a)∫sin(t)√(sin(t))dt・・・・・・(1)

となると思いますが、以前僕もここで積分の質問をしたことがあり、どうしても積分できない形があるというのを知りました。もしかすると(1)は積分できるのかもしれませんが、∫√sin(x)dxの形はどうやら積分できないみたいです。少しは参考になったでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます。
一人で考えていてもアイデアが浮かばなかったので大変参考になりました。
式の書き方が悪かったようで申し訳なかったです。
私が知りたかったのは後者の（3/2）乗の方です。

とりあえず(1)の積分を試してみようと思います。
しかし、積分できない形もあるわけですね。
どういった条件で積分できるかできないかも調べてみます。