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勝負を中止しないとはどういうことか？
- 力量互角な２人の賭博者A,Bが、３回先に勝ったほうが金貨６４枚をとるという約束で勝負を始めたが、Aが１回勝ったところで双方の事情により勝負を中止したので、金貨の分配に困った。
- Aが１回勝ったところで勝負を中止しなかったとしたときのA,Bが３回先に勝つ確率をそれぞれｐ１、ｐ２とする。
- 中止しなければ、この後１０通りの結果がある。そのうち、Aが３回先に勝つのは６回。よってこの確率は6/10=3/5
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10パターンあるからと言って、それらが全部1/10の確率で起こるわけではありません。 条件付き確率ってわかりますよね。 さいころとコインを投げるとして、１と表が出る確率は、1/6 x 1/2 で、1/12。 相互関係の無い独立なことが両方起こる確率は、かけ算になります。 力量互角という意味は、毎回の勝負が直前の勝負に関係なく1/2の確率で勝負が決まるということですよね。つまり毎回の勝負は独立なので、勝ち負けパターンの確率はかけ算になります。 まず2回目にAが勝つかBが勝つか1/2 A→A ・・・・ 1/2の確率で発生する A→B ・・・・ 1/2の確率で発生する 2回目にAが勝った場合に、3回目でAが勝つかBが勝つか1/2 2回目にAが勝つ確率が1/2だったので、下記のパターンは、 A→A→A ・・・・ 1/4の確率で発生する（これで終わり。A勝利) A→A→B ・・・・ 1/4の確率で発生する(つづく) A→A→Bの場合、4回目を考えると、 A→A→B→A ・・・・ 1/8の確率で発生する（これで終わり。A勝利) A→A→B→B ・・・・ 1/8の確率で発生する(つづく) A→A→B→Bの場合、5回目を考えると、 A→A→B→B→A ・・・・ 1/16の確率で発生する（これで終わり。A勝利) A→A→B→B→B ・・・・ 1/16の確率で発生する（これで終わり。B勝利) 2回目にBが勝った場合に、3回目でAが勝つかBが勝つか1/2 A→B→A ・・・・ 1/4の確率で発生する(つづく) A→B→B ・・・・ 1/4の確率で発生する(つづく) A→B→Aの場合、4回目を考えると、 A→B→A→A ・・・・ 1/8の確率で発生する（これで終わり。A勝利) A→B→A→B ・・・・ 1/8の確率で発生する（つづく) A→B→A→Bの場合、5回目を考えると、 A→B→A→B→A ・・・・ 1/16の確率で発生する（これで終わり。A勝利) A→B→A→B→B ・・・・ 1/16の確率で発生する（これで終わり。B勝利) A→B→Bの場合、4回目を考えると、 A→B→B→A ・・・・ 1/8の確率で発生する（つづく) A→B→B→B ・・・・ 1/8の確率で発生する（これで終わり。B勝利) A→B→B→Aの場合、5回目を考えると、 A→B→B→A→A ・・・・ 1/16の確率で発生する（これで終わり。A勝利) A→B→B→A→B ・・・・ 1/16の確率で発生する（これで終わり。B勝利) ふう。 Aが3回勝つケース ・・・・ 11/16 Bが3回勝つケース ・・・・ 5/16 これをもう少し楽に考えるのが、必ずあと4回勝負することにして、その16パターンが等確率でおこるとして、数えるやり方です。 AAAAA AAAAB AAABA AAABB AABAA AABAB AABBA AABBB ABAAA ABAAB ABABA ABABB ABBAA ABBAB ABBBA ABBBB
お礼
＞10パターンあるからと言って、それらが全部1/10の確率で起こるわけではありません。 ＞相互関係の無い独立なことが両方起こる確率は、かけ算になります。 なるほど… とても詳しく考え方も教えていただきありがとうございます！★