物理の波の問題で、わからないものがあります。

質問

物理の波の問題で、わからないものがあります。

時刻tにおいて位置xでの変位が

D1(x,t)=5sin(ax+bt) [cm]

で与えられる波がある。ただしa>0,b>0であるとする。

1)時刻t1において、位置x1での変位が
D1(x1,t1)=5
であるとすると、時刻t1において変位が
D1(x2,t1)=-5
である位置x2はいくらか。
ただしx2は x1<x2 かつx1に近いものとする。

2)波D1(x,t)と重ね合わせると、定常波を生じる波D2(x,t)の式と、その定常波を求めなさい。
また、定常波の節の位置はどこか。ただし絶対値の最も小さい位置とする。

という問題がうまく解けません。わかる方、教えてください。お願いします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

D1(x,t)=5sin(ax+bt)
が波動を表す時
bは角周波数、aは波数で
周期T、波長λを用いて
b=2π/T ,a=2π/ λ
です。この時
D1(x,t)=Asin(ax+bt)=Asin(2πt/T+2πx/ λ)=Asin(2π(t/T+x/λ))
Aは振幅でこの場合5（cm）です。

(1)
D1(x1,t1)＝5
D1(x2,t1)＝-5
これは位相差がπであることを示しています。
つまり
2πx2/λ=2πx1/λ+π
これより
x2=x1+λ/2=x1+π/a

(2)
D1(x,t)= Asin(2π(t/T+x/λ))
と定在波を作る波D2(x,t)はD1(x,t)に対して以下の条件を満たす必要があります。
・ 振幅が等しい
・ 周期が等しい
・ 進行方向が逆
よって
D2(x,t)= Asin(2π(t/T-x/λ)) =5sin(-ax+bt)
重ね合わせると
D(x,t)=D1(x,t)+ D2(x,t)= Asin(2π(t/T+x/λ))+ Asin(2π(t/T-x/λ))
加法定理を使って
D(x,t)=2Asin(2πt/T)cos(2πx/λ)=10 sin(bt)cos(ax)
sin(2πt/T)は時間変化、cos(2πx/λ)は時間によらない位置の特徴を表し、
これらが積として、分離されるのが定在波の特徴です。
節はcos(2πx/λ)=0となる点で2πx3/λ=π/2、2πx4/λ=π+π/2に現れます。
x3=λ/4, x4=λ/4+λ/2
x4-x3=λ/2=π/a

お礼

とても丁寧に、ありがとうございます。

回答No.2

spring135

No.1です。補足です。

下記のurlに動画があって、定常波（定在波）が大変わかりやすいと思います。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E5%B8%B8%E6%B3%A2

お礼

とても助かります。参考にします。