素数の分布について

質問

数Aの問題集をやっていたら参考で載っていたものです。
読んでもわからなかったもので質問させていただきます

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素数は無数に存在するが、素数の分布は、自然数が大きくなればなるほど少なくなることが知られている。実際、
１０１！＋２（２の倍数）
１０１！＋３（３の倍数）
　　・・・・・・・
１０１！＋１０１（１０１の倍数）
は連続する１００個の合成数で、その間には素数は１個もない。
このようにして任意の戸数の連続する合成数を構成することができる。
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なぜ１０１！が出てくるのでしょうか…
そして、なぜその次に数を足しているのでしょうか…

たぶんこんなこと入試とか関係ないと思うんですけど（ですよね？；）、本当に全く分からず、なんだかもやもやしていてすごく気持ち悪いものですから…
分かる方いましたら、時間があるときでいいので解説お願いします（＾＾；）

回答No.3

staratras · ベストアンサー

もっと小さい数で具体的に確認してみたら分かりやすいのではないでしょうか。

11!＋2=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11＋2
　　　=2×(1×3×4×5×6×7×8×9×10×11＋1）2の倍数で素数でない

11!＋3=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11＋3
　　　=3×(1×2×4×5×6×7×8×9×10×11＋1）3の倍数で素数でない

以下同様に続いて

11!＋10=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11＋10
　　　=10×(1×2×4×5×6×7×8×9×11＋1）10の倍数で素数でない

11!＋11=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11＋11
　　　=11×(1×2×4×5×6×7×8×9×10＋1）11の倍数で素数でない

ここで11!＋2から11!＋11までは１つずつ増えていく数
つまり連続した10個の整数で、この区間には素数が１個も存在しません。
具体的には39916802から39916811までは連続する10個の合成数です。

問題集の「参考」の記載は、この11!の11をもっと大きな数にすれば
同様に素数が１個も存在しない区間をもっと広くできる、逆に言えば
任意の個数の連続する合成数を作れますよ、ということです。
101!になっているのは連続する100個の合成数を示すためです。

お礼

なるほど！これで「素数は無数に存在するが、素数の分布は、自然数が大きくなればなるほど少なくなることが知られている」の意味が分かりました！
ありがとうございました（> <)

回答No.2

Knotopolog

＞１０１！＋２（２の倍数）

は，１０１！　でなくてもいいのです．何故，１０１！　にしたかは分かりませんが，多分，「１００個の合成数」というように，決まりのよい１００個にしたかったのかも知れません．

例えば，１００３！　でもかまいません．

１００３！＋２（２の倍数）
１００３！＋３（３の倍数）
　　・・・・・・・
１００３！＋１００３（１００３の倍数）
は連続する１００２個の合成数で，その中間には素数が１個もありません．

一般に，任意に大きな ｎ に対して ｎ!＋２ から ｎ!＋ｎ までは全て合成数です．

つまり，
ｎ！＋２（２の倍数）
ｎ！＋３（３の倍数）
　　・・・・・・・
ｎ！＋ｎ（ｎの倍数）

ですから， ｎ!＋２ から ｎ!＋ｎ までは，全て合成数になります．

１０１！　は，たまたま問題を１０１！　にしただけの話です．

お礼

なるほど…
これで１０１！の謎が解けました！
ありがとうございます☆

回答No.1

alice_44

101!は、2～101のどの数でも割りきれる。
2～101のどれかを足しても、
足したその数で割りきれることは変わらない。