数Iの三角形の成立条件の問題について

質問

【問題】
a＝ｘ、b＝２、c＝１の三角形ABCを考える
（１）三角形ABCが存在するようなｘの値の範囲を求めよ
（２）三角形ABCが鋭角三角形となるようなｘの値の範囲を求めよ
（３）三角形ABCが鈍角三角形となるようなｘの値の範囲を求めよ

（３）の解法についての質問です。
【解答】
（１）ｘ＜２＋１かつ２＜１＋ｘかつ１＜２＋ｘ
　　よって１＜ｘ＜３

（２）１＾２＜２＾２＋ｘ＾２　かつ　２＾２＜ｘ＾２＋１＾２　かつ　ｘ＾２＜１＾２＋２＾２
　　すなわち、３＜ｘ＾２＜５である
　　ｘ＞０なので√３＜ｘ＜√５

（３）１＾２＞２＾２＋ｘ＾２　かつ　２＾２＞ｘ＾２＋１＾２　かつ　ｘ＾２＞１＾２＋２＾２
　　すなわち、ｘ＾２＜３　または　５＜ｘ＾２である
　　これと（１）の結論を合わせて
　　　１＜ｘ＜√３　または　√５＜ｘ＜３

（３）で（１）の結論を引き合いに出しているのは、「三角形ABCは鈍角三角形である以前に三角形でなければならないから」ということでいいのでしょうか。
それなら、（２）でも引き合いに出していい気がするのですが…
解答の補足欄には「（２）の解は自動的に（１）の結論を満たしている」とあるのですが、自明だから書かなくてもいい、ということなのでしょうか？

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

正の数a,b,cが
a^2+b^2>c^2を満たすとき
(a+b)^2-2ab>c^2
(a+b)^2>c^2+2ab>c^2
a+b,cはともに正の数であるから
a+b>c
となります。

つまり、
a^2+b^2>c^2　かつ b^2+c^2>a^2 かつ c^2+a^2>b^2⇒a+b>c かつ b+c>a かつ c+a>b
となり、自動的に三角形となるための条件を満たします。

まあ、これが自明かといわれると少し考える必要があるかも。
証明しておいたほうがよいかもね。

補足

なるほど！すごく分かりやすい説明ありがとうございます（*＾＾*）

では、（２）も（３）と同じように（１）を引き合いに出したほうが確実ということですね？
やはり最後に「これは（１）の結論を満たす」くらい書いた方がいいってことでしょうか