座標（cosθ、sinθ）が円を描く

質問

とてもシンプルな質問なのですが、相手に教えるのにどう伝えるかで悩んでおります。

座標（cosθ、sinθ）でθが時間とともに刻一刻と変わる場合、その軌道は円を描く、

当たり前のことなのですが、それが何故なのか、をしっくり説明することができないのですが、
皆様どう説明されますか。数学のカテゴリで出したのは失礼だったかもしれませんが、
真面目に悩んでおります。そういうものだ、で片付けたくなく、何かなるほどと思う説明をお持ちの方、
どうぞ宜しくお願いします。

回答No.2

gohtraw · ベストアンサー

sin^2Θ＋cos^2Θ=1なので、（cosΘ，sinΘ）で表される点は常に原点から１の距離にあります。これだけで軌道が円になることは説明できると思うのですが、イメージしにくいようなら例えばペンの一端を中心としてぐるっと回してみるというのは如何でしょうか？

お礼

ありがとう御座います。説得力のある回答でした。

回答No.4

alice_44

No.1 さんも書いておられますが、それが三角関数の定義だからです。
直角三角形を使って三角比が定義できるのは、角度が 0～90°の範囲だけ。
それを越えて sin, cos の定義域を拡張しようとすれば、
別の方法が必要になります。直角三角形が書けませんからね。
そのために通常使われるのは、x 軸正方向に対して反時計回りに θ の角度をなす
半直線が、単位円と交わる点の座標を (cosθ,sinθ) と命名する。
…というものです。この定義に従えば、御質問の件は「定義より自明」です。
平たく言えば、「そうなるように、sin や cos という関数を決めたんだよ」
という説明になるかと思います。

お礼

お礼が遅くなりまして申し訳御座いませんでした。
回答いただき本当にありがとう御座います。

勉強になりました。

回答No.3

Ishiwara

２つの概念を同時に学ぼうとすると、厄介です。別々に学びましょう。

ｘ-ｙ座標平面で、Ｐ（ｘ＝10、ｙ＝２ｔ）とし、tを時刻（単位：秒）としたときに、Ｐがどんな動きをするか考えましょう。

次に、座標問題から離れて、sinθとcosθの定義を学びましょう。

それから、Ｐ（ｘ＝cosθ, y＝sinθ）を学びましょう。ここでθはｔと同じ役をする序変数（パラメータ） というものです。パラメータを少しずつ変えて、Ｐが動くようすを観察しましょう。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

k_kota

そういうものだ、というか、そのように定義されているのです。

直角三角形のある角を連続的に可変して、その時の辺の比との関係を関数としている。

まあ、比率なので絶対的に考えるには斜辺を１として考えるのがわかりやすい。
そうすると長さ1の線分をぐるっと回すことになります。

もうちょっと言うと、長さ1の線分をぐるっと回した時の角度とx,y座標の関係が三角関数になります。
なので円にしかなりようがありません。

説明が下手ですね、すみません。

お礼

ありがとう御座います。