極限の求め方がわかりません

質問

lim[d→0] [{x^2 + y^2 + (z-d)^2}^(-1/2) - {x^2 + y^2 + (z+d)^2}^(-1/2)]/2d
の極限はどうやって求めたらいいんでしょうか？

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

取敢えず、分子の有理化をしてみたらどうでしょうか？

lim[d→0] [{x^2 + y^2 + (z-d)^2}^(-1/2) - {x^2 + y^2 + (z+d)^2}^(-1/2)]/2d
=lim[d→0] [{x^2 + y^2 + (z-d)^2}^(-1) - {x^2 + y^2 + (z+d)^2}^(-1)]/
(2d*[{x^2 + y^2 + (z-d)^2}^(-1/2) + {x^2 + y^2 + (z+d)^2}^(-1/2)])
=lim[d→0] [{x^2 + y^2 + (z+d)^2}-{x^2 + y^2 + (z-d)^2}]/
(2d*[{x^2 + y^2 + (z-d)^2}^(-1/2) + {x^2 + y^2 + (z+d)^2}^(-1/2)]
*{x^2 + y^2 + (z-d)^2}{x^2 + y^2 + (z+d)^2})
=lim[d→0] {(z+d)^2}-(z-d)^2}/
(2d*[{x^2 + y^2 + (z-d)^2}^(-1/2) + {x^2 + y^2 + (z+d)^2}^(-1/2)]
*{x^2 + y^2 + (z-d)^2}{x^2 + y^2 + (z+d)^2})
=lim[d→0] 4dz/
(2d*[{x^2 + y^2 + (z-d)^2}^(-1/2) + {x^2 + y^2 + (z+d)^2}^(-1/2)]
*{x^2 + y^2 + (z-d)^2}{x^2 + y^2 + (z+d)^2})
=lim[d→0] 2z/([{x^2 + y^2 + (z-d)^2}^(-1/2) + {x^2 + y^2 + (z+d)^2}^(-1/2)]
*{x^2 + y^2 + (z-d)^2}{x^2 + y^2 + (z+d)^2})
=2z/[{2(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)}(x^2+y^2+z^2)^2]
=z{√(x^2+y^2+z^2)}/(x^2+y^2+z^2)^2

お礼

ありがとうございます。おかげで解決できました