何回やってもわかりません…

質問

sinθ＋cosθ＝3分の1で0°≦θ≦180°の時のsinθの三乗＋cosθの三乗の詳しい解き方と答えを教えてください(´ヘ｀;)特に因数分解のやり方がわかりません。

回答No.2

eco1900 · ベストアンサー

「sinθ＝x、cosθ＝y」として、頭を柔らかくしておきますね^^A。

すると、「x＋y＝1/3　(1)」ということを初めに出題者は言っています。

でも・・・単純に書き換えたからといって安心できません。

・・・というのは、「sin^2θ＋cos^2θ＝１」という超重要な関係から

「x^2＋y^2＝１　(2)」　ということを意識しておきましょう。

で、問題は「sin^3θ＋cos^3θ」値ですね。これは「x^3＋y^3」でしたね。

この形から、以前に学習した「因数分解」が思い出せるでしょうか？

そうですね！　x^3＋y^3＝(x＋y)(x^2－xy＋y^2)
（おまけに、x^2＋y^2がカッコの中にそのままそっくり登場していますね）

ということで・・・(1)、(2)から
　　x^3＋y^3＝(　1/3　)(　1－xy　)

これで、かなり簡単になってきました、・・・が、まだxyが残っていますね。

これは、ちょっと工夫が必要なんですが、超重要ですので、ぜひ身につけておいてくださいね^^A。

次のよな感じです。
　・(1)の両辺を平方します。→x^2＋2xy＋y^2＝1/9

　・左辺に、また「x^2＋y^2」の塊がそっくり登場していますね。

　　ということは・・・左辺は「2xy＋1」ということになりますね。

　　つまり、2xy＋1＝1/9→これより、xy＝－4/9

もう一度、(3)を振り返ってみて・・・もう分かりますよね。少し頑張ってみてください^^v。

ちなみに、答えは13/27

お礼

わかりやすく丁寧な説明をありがとうございます！
頑張ります(^O^)／

回答No.3

okormazd

x^2は、xの2乗です。

因数分解の公式、

x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y2)

になることを確かめたら、そのまま覚える。

また、

(x+y)^2=x^2+2xy+y^2

も、知っているでしよう。

で、

sin^2θ+cos^2θ=1

も、知っていますね。

だから、

x=sinθ、y=cosθ

として、

上の公式に入れれば、求められます。

(sinθ+cosθ)^2=sin^2θ+2sinθcosθ+cos^2θ=1+2sinθcosθ=1/9

で、sinθcosθがわかります。

お礼

ありがとうございます(^-^)/

回答No.1

noname#157574

まず (sinθ+cosθ)² から sinθcosθを計算。
次に sin³θ+cos³θ=(sin+cos)(sin²θ-sinθcosθ+cos²θ)に代入。

お礼

ありがとうございます(｀_´)ゞ