数学３ 道のり、長さ

質問

x=(cosθ)^2-(√3)sinθcosθ　
y=sinθcosθ-(√3)（sinθ)^2　　（0≦θ≦5π/12）
媒介変数表示されたこの関数の長さを求めたいです。

因数分解の公式？！みたいにうまく当てはまりそうな気がしますが・・・。　関数を積分する前からてこずってます・・・　というか長さを求めるにはうまく積分ができるかどうかだけですけどね・・・。
おねがいします

回答No.1

debut · ベストアンサー

θで微分して、
dx/dθ=-2sinθcosθ-(√3)cos^2θ+(√3)sin^2θ=-sin2θ-(√3)cos2θ
dy/dθ=cos^2θ-sin^2θ-(2√3)sinθcosθ=cos2θ-(√3)sin2θ

長さは∫√{(dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2}dθ [θは0から5π/12]、によって・・・

お礼

なるほど、これで変形は完了ですね、ありがとうございました

回答No.2

marsmaru

三平方の定理は,

x^2+y^2=z^2

ですよね.それぞれについて微小量をとっても同様に,

(dx)^2+(dy)^2=(dz)^2

です.これから,

dz=((dx)^2+(dy)^2)^1/2 .

このdzの足し合わせで,長さを考えると,

z=∫((dx)^2+(dy)^2)^1/2

あとは,媒介変数表示が与えられているので,

dx=dx/dθ dθ, dy=dy/dθ dθ

のようにすると,θのみの範囲を考えるだけで積分は可能です.

お礼

ふむふむ、ありがとうございました。