数学について質問です。

質問

数学について質問です。

0°≦θ≦90°

sinθ‐cosθ=１/3の時、sin^3θ-cos^3θの値を求める。

まず、sinθ‐cosθ=１/3の両辺２乗する。
すると、sinθ・cosθ=4/9になる。

sin^3θ-cos^3θ＝（sinθ‐cosθ)^3-3sin^2θ・cosθ+3sinθ・cos^2
　　　　　　　＝（sinθ‐cosθ)^3-3sinθ・cosθ(sinθ‐cosθ)
代入して
　　　　　　　＝1/27-3・4/9・1/3
＝1/27-4/9
＝-11/27

これって、あってますか？
答えは、違ってました。
そして何が違っているのかわかりません。
本当に申し訳ないのですが、教えていただけないでしょうか？

回答No.5

nattocurry · ベストアンサー

sin^3θ-cos^3θ＝（sinθ‐cosθ)^3-3sin^2θ・cosθ+3sinθ・cos^2

これが間違い。

（sinθ‐cosθ)^3＝sin^3θ-3sin^2θ・cosθ+3sinθ・cos^2-cos^3θ

これと混同しているのかな？

sin^3θ-cos^3θ＝（sinθ‐cosθ)^3+3sin^2θ・cosθ-3sinθ・cos^2
　　　　　　　＝（sinθ‐cosθ)^3+3sinθ・cosθ(sinθ‐cosθ)
代入して
　　　　　　　＝1/27+3・4/9・1/3
＝1/27+4/9
＝13/27

お礼

回答ありがとうございます。
とても助かりました。
かなりのミスです。
符号を勘違いしたまま計算を進めてしまった愚かさを、これからに役立てたいです。

回答No.6

tomokoich

スミマセン
sin＾3θ-cos＾3θの展開プラスとマイナス違ってました。
他の方の通りです

お礼

問題ないです。
助言ありがとうございました。

回答No.4

tomokoich

式の変形をsin＾3θ-cos＾3θ=(sinθ+cosθ)(sin＾2θ-sinθcosθ+cos＾2θ)
としてやってみればいかがでしょう。
sinθ＋cosθの値はθの条件と
(sinθ＋cosθ）＾2=1+2sinθcosθから出ると思います。

お礼

回答ありがとうございます。
とても助かりました。
確かに、この分解のほうが速そうです。
ありがとうございました。

回答No.3

spring135

多分
sin^3θ-cos^3θ＝（sinθ‐cosθ)^3-3sin^2θ・cosθ+3sinθ・cos^2
　　　　　　　＝（sinθ‐cosθ)^3-3sinθ・cosθ(sinθ‐cosθ)
あたりが間違っているのでしょう.

sin^3θ-cos^3θ=(sinθ‐cosθ)(sin^2θ+sinθ・cosθ+cos^2θ)
=(1/3)(1+4/9)=13/27

お礼

回答ありがとうございます。
とても助かりました。
因数分解を使ったほうが速そうですね。
ありがとうございました。

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。

＞sin^3θ-cos^3θ＝（sinθ‐cosθ)^3-3sin^2θ・cosθ+3sinθ・cos^2
＞　　　　　　　＝（sinθ‐cosθ)^3-3sinθ・cosθ(sinθ‐cosθ)

3乗の展開式は
(s- c)^3＝ s^3- 3*s^2*c+ 3*s*c^2- c^3

ですから、後ろで引くものと加えるものが逆になっているようですね。

で、単純に因数分解を使った方がよいかと・・・
sin^3θ- cos^3θ
＝ (sinθ- cosθ)(sin^2θ+ sinθcosθ+ cos^2θ)
＝ 1/3* (1+ 4/9)
＝ 13/27

sinθcosθの計算がわかっているだけに惜しい感じです。

お礼

回答ありがとうございます。
とても助かりました。
今さらながら、うわ～って感じです。
精進します。

回答No.1

mister_moonlight

＞そして何が違っているのかわかりません。

sinθ・cosθ=4/9　までは合ってるから、単なる計算ミスだろう。

簡単のために、sinθ＝x、cosθ＝y とすると、x-y＝1/3　xy＝4/9　の時に　x＾3-y＾3　の値を求める問題になる。
x＾3-y＾3＝(x-y)*(x＾2＋y＾2＋xy)＝(x-y)*(1＋xy)＝13/27。

お礼

回答ありがとうございます。
とても助かりました。
自分の中で、何が違うのかを発見するのには、倍の時間がかかることを改めて知らされました。本当に助かりました。