二変数関数 高校数学

質問

f(x,y)=x^2+5y^2+4xy-6x-4y-2について、x、y、の範囲をx≧0,y≧0の時の最小値を求めよ
このときのx,yをもとめよ。

この問題の解の一部に（x+2y-3)^2≧０とありました。なぜ、この式がなりたつのですか？この右辺が９になる気がするのですが。

よろしくお願いします。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

＞x+2y-3≧-3これを２乗して（x+2y-3）＾２≧９になるんじゃないかと。

両辺が非負ならば　2乗しても同値だが。

＞大概はこういう場合固定すると、一次関数か二次関数なのでしょうか？また、入試の回答では、固定するよりも一時定数といったほうがよいのでしょうか？

1次になるか、2次になるか、3次になるか　それは問題次第。決め付けては　いけない。
「固定」でも「一時定数」でも、どっちでも良いんじゃないの。

＞x≧0,y≧0　という条件がなければ、判別式だけで解決するんだが。。。。。。ｗのやり方を教えてください。

x^2+5y^2+4xy-6x-4y-2＝kとして、xの2次方程式とみると、xは実数解を持つから判別式≧0‥‥(1)
それを計算すると、yの2次不等式になるが、yも実数解を持つから判別式≧0.‥‥(2)
そこで出てきたkの最小値を(1)と(2)に代入して、(最小値を与える)xとyの値を確認する　←　十分条件の確認。

回答No.3

nattocurry

＞　x+2y-3≧-3これを２乗して（x+2y-3）＾２≧９になるんじゃないかと。

小さいほう（この式の場合は右辺）が負数（－３）の時点で、左辺^2≧右辺^2　は成り立ちません。

たとえば、-1＞-3ですが、両辺を2乗すると1＞9ではないですよね。
また、5＞-3の場合、両辺を2乗すると25＞9となります。

つまり、小さいほうが負数の場合、両辺を2乗すると、大きいほうの値によって、不等号の向きが変わると言うことです。

お礼

ありがとうございます。かなりわかりやすかったです。
今回左辺が変数で不定、かつ右辺が負数ということでだめなのですね。

回答No.1

mister_moonlight

質問の意味がよくわかんないので、解を書いておく。

xについて平方完成してみると、f(x,y)={x-(3-2y)}＾2＋(y+4)＾2-27　となる。
y≧0より　y＋4≧4　→　(y+4)＾2≧16、{x-(3-2y)}＾2≧0　足すと　{x-(3-2y)}＾2＋(y+4)＾2≧16
よって、f(x,y)={x-(3-2y)}＾2＋(y+4)＾2-27≧-11　で　この時、y＝0　で　x-(3-2y)＝0だから　(x、y)＝(3、0)。

別解として、yを一時定数とみて、x≧0より　3-2y≧0　と　3-2y≦0　の時の各々の最小値を求め(＝最小値をyで求め)、次に　yを　y≧0で動かして、その最小値を求める方法もある。

x≧0,y≧0　という条件がなければ、判別式だけで解決するんだが。。。。。。ｗ

補足

即席回答ありがとうございます。
たしかに質問わかりにくいですね。すいません。
x+2y-3≧-3これを２乗して（x+2y-3）＾２≧９になるんじゃないかと。

一時定数とは固定するということですよね。固定すると二次関数になって軸で場合分けというわけですね。大概はこういう場合固定すると、一次関数か二次関数なのでしょうか？また、入試の回答では、固定するよりも一時定数といったほうがよいのでしょうか？
＞x≧0,y≧0　という条件がなければ、判別式だけで解決するんだが。。。。。。ｗのやり方を教えてください。