関数

質問

2点（-1,9）、（3,1)を通り、x軸に接する放物線の方程式を求めよ。

とい問題で解答にはすごくわかりにくく書かれてあるんです。

過程も含めて教えていただけると嬉しいです！！

お願いします

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

x軸に接する放物線の方程式を

　y=a(x-b)^2 (a≠0)　…(1)

と置くと、これが２点(-1,9), (3,1)を通ることから、この２点を(1)に代入して

　9=a(-1-b)^2 …(2)
　1=a(3-b)^2 …(3)

これをa,bの連立方程式として解けば　a,bが決まり、(1)の方程式が確定する。

a≠0なので　(2)/(3)より
　9=((1+b)/(3-b))^2
　(b+1)/(b-3)=±3

◆(b+1)/(b-3)=3 の時
　b+1=3(b-3) → 2b=10 ∴b=5
(2)から
　9=36a ∴a=1/4

◆(b+1)/(b-3)=-3 の時
　b+1=-3(b-3) → 4b=8 ∴b=2
(2)から
　9=9a ∴a=1

以上から　(a,b)=(1/4,5), (1,2)

(1)に代入すると求める放物線の式は

　y=(1/4)(x-5)^2 および y=(x-2)^2

となる。

参考までに、求めた2つの放物線のグラフの図を添付しておきます。

お礼

図まで書いていただいてありがとうございました！！

解決してよかったです！！

ありがとうございました

回答No.2

noname#173931

y = ax^2 + bx + c ...(A) とおく

( -1, 9 ) , ( 3, 1 ) を通る →

9 = a - b + c
1 = 9a + 3b +c が得られる

[ c を数字としてみると ]

a - b = ( 9 - c ) ...(1)

9a + 3b = ( 1 - c ) ...(2) が得られる

[ 9-c , 1-c を数字としてみている ] → 中学校で習った連立方程式

[ ここでは,にぶんのいちを 1/2 とあらわしている　]

a = -( c - 7 )/3 ...(ア)

b = 2( c - 10 )/3 ...(イ)

[ a, b を c であらわすことができた ]

[ ここで (A) はx軸で接する → 判別式 = 0 ]

b^2 - 4ac = 0 ...(B)

[ (B) に(ア) (イ) を代入して c の方程式が得られる ]

[ あとは計算してください ]

( a, b, c ) = ( 1/4, -5/2, 25/4 ) , ( 1, -4, 4 )

となり、2種類の放物線が条件を満たしていることがわかる。

[ 最小値になる点が 与えられた二点の間にあるもの、または、二点より右にあるもの ]

お礼

丁寧に教えていただいてありがとうございました！！

役立ちました

回答No.1

reportpad7

f(x) = ax^2 + bx + c とおいた上で、
・f(9) = -1
・f(1) = 3
・x軸に接することより、f(x)=0という方程式の解が1個（重解）である
という条件から求まります。