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４次元の林檎

2006/03/03 20:11

こんばんわドラえもんを観ていて思ったのですが、４次元空間においてある１点から等距離にある点の集合（球）が空間に占める面積の値は何でしょうか？できれば体積もお願いします。参考になりそうなサイトも教えてください。乱丁すみません。

Shiro-10
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数学・算数
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sanori
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2006/03/03 23:42 回答No.1

文献等を参照にしていませんし、数学もあまり得意でないですが、学生の頃から個人的に考えていたことに基づいて書きます。この問題は、「１点から等距離」ですから、極座標で考えます。三次元の極座標は（ｒ，θ，φ）です。ＸＹＺ軸による三次元の表現は、必ず極座標に変換できます。（導出方法の説明は省きます。）このとき重要な事実は、「半径ｒ方向に対して、角度θとφの方向は常に垂直で、かつ、θとφも互いに垂直方向である」ということです。二次元で考えれば簡単です。半径に対して、円周に沿う方向は垂直ですよね？（だから、円の面積は、底辺２πｒ、高さｒの三角形と同じ面積になるのです。円の「底辺」である円周と「高さ」である半径とは、常に垂直ですから。）三次元は、地球儀のイメージで考えるとわかりやすいです。 θは緯度、φは経度と考えます。地表で見れば、 θが－９０度（南緯９０度）～＋９０度（北緯９０度）の範囲で動いた軌跡も、 φが－１８０度（西経１８０度）～＋１８０度（東経１８０度）の範囲で動いた軌跡も、地球の中心から見れば、それは全て地表（球の表面）での動きですから、ｒ（半径方向）に対して垂直です。球の表面積は、４πｒ^2です。球の体積は、半径ゼロから半径ｒまでの球の表面積の集合ですから、 ∫４πｒ^2・ｄｒ　＝　３分の４　×πｒ^3 となるわけです。つまり、表面積が既知であれば、球の体積は簡単に求まります。ですから、先に球の表面積を求めるのが重要になります。 θとφの取るべき範囲は上述したとおりですが、度の単位をラジアンに書き直しますと θの範囲：－９０度～９０度　→　－π／２～＋π／２ φの範囲：－１８０度～＋１８０度→　－π～＋π θ（緯度）を固定して考えますと、φを－π～＋πの範囲で振れば、φの軌跡は円になります。その、一つの円の半径は、ｒ・cosθ したがって、一つの円周は、２πｒ・cosθ　です。球の表面は「一つの円周」の集合体ですから、この円周を、θ＝－π／２～＋π／２　の範囲で積分すれば、球の表面積になるはずです。円周の太さは、微小なθ幅ｒｄθです。表面積を求めるのですから、ｒは固定です。 ∫２πｒcosθ・ｒｄθ　＝　２πｒ^2・∫cosθ・ｄθ 　＝　２πｒ^2［sinθ］　＝　２πｒ^2・（１－（－１））　＝　４πｒ^2 ここまでで、三次元までの球の表面積、体積の考え方がわかったことになります。では、ゼロ次元から三次元までの円周、面積・表面積、体積について総括しますと、ゼロ次元：　半径も円周もない一次元：　半径ｒがあるだけ（座標は、－ｒと＋ｒのみ）二次元：　半径ｒ　円周は、∫ｒθ・ｄθ（θ＝－π～＋π）＝２πｒ、　面積は円周の集合であり、∫２πｒ（ｒ＝０～ｒ）＝πｒ^2 三次元：　半径ｒ　１つの円周は、∫ｒ・cosθｄφ（φ＝－π～＋π）　＝　２πｒ・cosθ 　表面積は円周の集合であり、∫２πｒcosθ・ｒｄθ（θ＝－π／２～＋π／２）＝　４πｒ^2 　体積は表面積の集合であり、∫４πｒ^2・ｄｒ（ｒ＝０～ｒ）　＝　４／３・πｒ^3 では、いよいよ、四次元について考えます。四次元極座標を（ｒ、θ、φ、ω）と定義します。そして、各々が取るべき範囲を考えましょう。まず、ｒについては、何も悩むことがありません。残りの３つ、すなわち、角度θ、φ、ωが問題です。（３つの順番は、どれが先でもよいのですが）三次元では、互いに直交する角度座標緯度θ＝－π／２～＋π／２、経度φ＝－π～＋π を定義しました。これによって、球の表面の全てを表すことができ、かつ、上記範囲を定めることにより、一対一対応すなわち１つの場所に対して必ず１つの座標が与えられました。もしも、θが＋π／２よりも大きい値を取ることを許してしまうと、北極を通り過ぎて、地球の裏側へ行ってしまうので、一対一対応にならなくなってしまいます。ですから、三次元極座標で半径ｒ以外の座標の合理的な範囲設定は、「－π／２～＋π／２」「－π～＋π」の２種類以外に考えられません。では、四次元座標では、３つの角度のうち２つが仮に「－π／２～＋π／２」「－π～＋π」であるとして、もう一つの角度をどう定義すればよいでしょう？おそらく、ですが、四次元まで考え方を拡張する場合、上記２つのほかに、任意の（＝勝手に決めた、若しくは想像上の）範囲を取ることになると思います。また、ゼロ次元から順を追って考えたことから分かるように、　（ａ、ｂ、ｃ、ｄは任意）ａπｒ　は円周、球の一つの円周ｂπｒ^2　は円の面積（円周の集合）、球の表面積（一つの円周の集合）ｃπｒ^3　は球の体積（球の表面積の集合）という物理的な次元を持っています。４次元では、おそらく、ｄπｒ^4　という新しい次元概念が必要になるでしょう。すなわち、ａπｒ　は一つの円周ｂπｒ^2　は一つの球の表面積（円周の集合）ｃπｒ^3　は一つの球の体積（表面積の集合）ｄπｒ^4　は謎の概念（体積の集合）また、三次元の表面積を求めた過程で、一つの円周（φの範囲＝－π～＋π）は、２πｒ・cosθ となりました。 θとφは、お互い垂直なのですが、長方形や三角形のように単純にθ×φというように掛け算をして微小面積が求まるわけではなくcosθという可変の補正係数を掛ける必要があったわけです。それは、四次元に拡張したときに、どうなるか？これは不明です。＜まとめ＞・円や球の諸性質の計算には、互いに直交する極座標を用いる。　四次元極座標であれば（ｒ、θ、φ、ω）・三次元でθ、φの範囲をそれぞれ、－π／２～＋π／２、－π～＋π　と決めたのと同様に、四次元でも角度座標の範囲を定める必要があり、かつ、重複座標の不合理が無いようにしなければいけない。　そうしないと、積分の範囲が定まらず、表面積、体積を計算することができない。・三次元の計算で登場した「２πｒ・cosθ」の「cosθの」ように、可変の係数が、さらに必要になると思われるが、それが何であるかは不明。＜追伸＞相対性理論では、光が進む経路は、時空のゆがみを考慮したときの最短距離、すなわち四次元での最短距離になります。したがって、その最短距離の集合を球とする考え方は出来ますが、しかし、そのとき、球の表面積や体積を求めるということの意味は、時空のゆがみによって見かけのＸＹＺが変わったときの球、すなわち、結局三次元のＸＹＺ座標での表面積になってしまうような気がします。何かしらの概念で任意に定義することは可能かもしれませんが・・・（参考）三次元までの計算　（私は参照していないのですが） http://ksgeo.kj.yamagata-u.ac.jp/~kazsan/class/geomath/juusekibun.html

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