No.569499に関連して超球の体積漸減の意味は何か

質問

No.569499の質問にはguiterさん初め、目から鱗の回答を頂きありがとうございました。

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=569499

その中の公式に従ってｎ次元の超球の体積と表面積を計算して見ました。確かに体積は5次元で最大に、表面積は７次元で最大になりました。（全て半径を１とする）
つまり超球は次元が高くなるに従ってだんだん小さくなる、ということなのでしょう。
ところが(n-1)次元の体積とｎ次元の表面積との比を取るとだんだん大きくなっていきます。これは2次元の円を3次元に膨らませることをイメージするととても自然なことなのですが、先ほどの超球がだんだん小さくなることとどう関係付けて理解したらいいのか分かりません。どなたか、解釈していただけないでしょうか。

ちなみに(n-1)次元の体積とｎ次元の表面積との比の増え方を見てみると１に漸近しているようです。次元が無限大になれば(n-1)次元の体積とｎ次元の表面積は同じになる、ということですか。

回答No.3

guiter · ベストアンサー

mmky さんが仰るように１に漸近はしていないようですね．

pancho さん:
> 各次元ごとに体積・表面積の単位が異なりますので
これは物理学的にはもっともだと思いますが，
r = 1 として純粋な係数を引っ張り出して比較することは，
数学的に高次元空間の性質を調べるという点では必要な作業だと思います．
私の専門は物理学ですが(^^;)．

> 先ほどの超球がだんだん小さくなることと
> どう関係付けて理解したらいいのか分かりません。
比を取っているので必ずしも体積の減少にあわせて
小さくなっていく必要はないと思います．
高次元空間に住んでいるわけではないうえに数学の専門家でもないので，
ちゃんとした回答は持ってませんが…．

ただ，高次元空間の性質を考察するときに
次元の低いものから類推するという手段はよくやることですが，
少し注意が必要であることだけアドバイスしておきます．

今回の体積でも５次元を境に減少傾向になっています．
それとは別にｎ次元の正多面体を考えると
　３次元：５種類
　４次元：６種類
　５次元以上：３種類
というように５次元以上で共通していたり，
ユークリッド空間では４次元だけが
何種類もの異なる微分構造を持っていたり，
低次元の空間は少し特殊な性質をもっています．

ちなみに，「ポアンカレ予想」という問題がありますが，
最初に５次元以上，次に４次元が証明されて
残った３次元がミレニアム懸賞問題の１つに挙げられています．

ご参考までに．

お礼

ご回答ありがとうございます。guiterさんが教えてくれた公式に従ってexcelで100次元まで計算してみました。
3～4次元/2～3次元は4/πですから1.273、以下10次元前後では1.051、20次元前後では1.025、50次元前後では1.01005、100次元前後では1.005012と増え方は次第に1に近づいているように思えますがどうでしょうか？

回答No.5

guiter

そういうことでしたか．

数値計算しかしてませんが，
1 に収束しそうな感じですね．

回答No.4

guiter

どこかで計算間違いをしておられるような気がします．

(n-1)次元単位超球の体積 V_(n-1) と
n次元単位超球の表面積 S_n の比 S_n/V_(n-1) は，
　n:偶数　π*(n-1)!!/(n-2)!!
　n:奇数　2*(n-1)!!/(n-2)!!
のように書けます．
No.2 の mmky さんと表記は違いますが，
同値であることは確認しました．

ここで，(n-1)!!/(n-2)!! の部分は
　n:偶数　{(n-1)/(n-2)}*{(n-3)/(n-4)}* … *(5/4)*(3/2)
　n:奇数　{(n-1)/(n-2)}*{(n-1)/(n-2)}* … *(4/3)*(2/1)
というように１より大きい数の積ですから，
どうやら発散するようですね．

それはそれでイメージに困りますが．

お礼

ありがとうございます。
Sn/Vn-1がどんどん大きくなるのは僕の計算とおりです。
僕が問題にしているのは、この大きくなる程度がどうか、という事です。
つまり（Sn+1/Vn）/（Sn/Vn-1)がどんどん１に近づいている、つまり大きくなる程度は小さくなり、最後には大きさが一定になるのでは？と思っているのですが。
３）のお礼に書いた数値は（Sn+1/Vn）/（Sn/Vn-1)においてｎが10、20、50、100のときの値です。

回答No.2

mmky

参考程度に
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=528696
＃2 siegmund先生の回答式を参考にすれば、
体積(3)　V_n(r) = C(n) r^n
面積(4)　S_n(r) = dV_n(r)/dr = n C(n) r^(n-1)
係数(12) C(n) = 2π^(n/2) / nΓ(n/2)
(n-1)次元単位球の体積V_n-1(r)
V_n-1(r) = C(n-1) r^n-1
(n-1)次元単位球の体積V_n-1(r)とn次元単位球の面積比は、
S_n(r)/V_n-1(r)= n C(n)/C(n-1)
={π^(1/2)}{(n-1)Γ((n-1)/2))/Γ(n/2)}
nを偶数と奇数に分けて考える必要がありますね。
n:偶数の場合： n≧2
=(√π){(n-1)*Γ((n-2)/2)+(1/2))/Γ(n/2)}
=π*(n-1)*{(n-2)!/{(n-2)/2}!*2＾(n-2)}/{(n-2)/2}!
=π*(n-1)!/{{(n-2)/2}!}＾2*2＾(n-2)}
計算値
n=2: π=3.14
n=4: π*3/2=1.5π=4.71
n=6: π*15/8=1.875π=5.89
n=8: π*35/16=2.1875π=6.87
n=10: π*315/128=2.46π=7.72
n:奇数の場合：n≧3
=(√π){(n-1)*Γ((n-1)/2))/Γ((n-1)/2+(1/2))}
=(n-1)*{(n-3)/2}!*{(n-1)/2}!*2＾(n-1)}/(n-1)!}
={(n-3)/2}!*{(n-1)/2}!*2＾(n-1)}/(n-2)!
計算値
n=3: 4
n=5: 16/3=5.33
n=7: 32/5=6.5
n=9: 256/35=7.57

(n-1)次元単位球の体積とｎ次元単位球の表面積との比の増え方を見てみると増加してますね。１に漸近しては無いように思えますが。
計算参考：
Γ(n/2)=((n/2)-1)!={(n-2)/2}!
Γ((n-1)/2))=((n-1)/2-1)!={(n-3)/2}!
Γ(N+(1/2))={(2N)!/N!*2＾2N}*(√π)
Γ((n-2)/2)+(1/2))
={(n-2)!/((n-2)/2)!*2＾(n-2)}*(√π)
Γ((n-1)/2+(1/2))}
={(n-1)!/((n-1)/2)!*2＾(n-1)}*(√π)

回答No.1

pancho

だれも回答してくれない様なので、ヒントを載せておきます。

まず、次元による体積と表面積の増減についてですが、各次元ごとに体積・表面積の単位が異なりますので、比較すること自体が無意味です。
例えば、（想像しやすい）２次元と３次元では
　２次元では　体積？：πr^2　表面積？：πr
　３次元では　体積：4/3・πr^3　表面積：4πr^2
ですが、r=1を代入して比較しても何の意味もありません。仮にr=2を代入してみれば、全く違った比較になりますよね！

また、表面積が増えていくこと（？）と体積を結びつけることも、同様に意味が有りません。

以上。