円錐や角錐の体積に出てくる1/3について

質問

円錐や角錐の体積は、底面となる円や多角形の面積と高さの積に1/3をかけたものになりますが、この1/3の「3」は直感的に考えて、(素朴な意味での)次元と捉えられるのでしょうか。

例えば、2次元だと三角形の面積は、底辺となる線分の長さと高さの積に1/2をかけたものになります。一般のn次元の似たような図形でも、「まともな図形」であれば、底面となる図形の測度と高さの積に1/nをかけたものが測度になるのでしょうか。（単純に、底面が立方体のようなものを考えれば、x^(n-1)の積分のような感じになって、1/nが出てきそうなのですが・・。どうなのでしょう？）

ご回答よろしくお願いします。

回答No.2

aquarius_hiro · ベストアンサー

D733さん、こんにちは。

> この1/3の「3」は直感的に考えて、(素朴な意味での)次元と捉えられるのでしょうか。
> 単純に、底面が立方体のようなものを考えれば、x^(n-1)の積分のような感じになって、1/nが出てきそうなのですが・・。どうなのでしょう？

まさしくその通りです。

底面積をS、頂点の高さをhとすると、頂点から底面に下ろした垂線に垂直な断面積は、頂点からの距離を x とし、その断面積をs(x)と書くと、n次元空間の場合は、s(x)=S・(x/h)^{n-1} になります。
体積Vは、

V = lim_{Δx→0} Σ s(x) Δx = ∫_0^h s(x) dx
　= S ∫_0^h (x/h)^{n-1} dx

ここで、y=x/h とおくと、

V = S h ∫_0^1 y^{n-1} dy = 1/n・Sh

になります。n=2の場合は、底面積は底辺に相当し、1/n=1/2なので、よく知られた 面積=底辺×高さ/2 になり、n=3の場合も、1/n=1/3 なので、体積=底面積×高さ/3 になります。これはご質問のとおりですね。

n≧4 では、直感的図形的考察ができないのですが、「錐」というものの概念を拡張して、頂点からの距離がxのときの「(n-1)次元の面積」が、S・(x/h)^{n-1} であるような図形として、定義すれば同じような計算になります。

例えば、n=4で、(x,y,z,w)という座標系を考え、w=0のxyz空間に底面があり、(0,0,0,h) が頂点の「錐」を、(0,0,0,h-x)での断面を、底面の相似形で「面積」が、S・(x/h)^{n-1}になるものとして定義することができ、同様の積分計算になります。

なお、2次元、3次元の場合に、断面の面積がs(x)=S・(x/h)^{n-1} となるのは、底面とその断面での「長さの比」がh:xになることと、どんな形の(n-1)次元の図形でも、小さく分割すれば、(n-1)次元の立方体になることを考えれば、あとは相似を考えればわかると思いますので、説明は省略しますね（ここでは図を描きにくいので）。

お礼

ご回答ありがとうございました。

> 錐」というものの概念を拡張して、頂点からの距離がxのときの「(n-1)次元の面積」が、S・(x/h)^{n-1} であるような図形として、定義すれば
こういう定義をすると、やっぱり、相似比と体積比の関係が肝のようですね。
丁寧に説明いただき、ありがとうございました。すっきりしました。

回答No.5

sanori

また失礼します。
数式（計算の途中経過）に間違いがありましたので、訂正させてください。
なお、途中経過だけの書き間違いなので、ほかに影響はありません。

【間違い】
∫Ａ／ｈ・ｘｄｘ　＝　Ａ／ｈ・∫ｘｄｘ
　＝　Ａ／ｈ・ｘ^2／２　＋積分定数
積分範囲は、ｘ＝０からｘ＝ｈまでなので、
面積　＝　Ａｈ・ｈ^2／２　－　Ａｈ・０^2／２
　＝　Ａｈ／２
　＝　底辺×高さ÷２

【訂正後】
∫Ａ／ｈ・ｘｄｘ　＝　Ａ／ｈ・∫ｘｄｘ
　＝　Ａ／ｈ・ｘ^2／２　＋積分定数
積分範囲は、ｘ＝０からｘ＝ｈまでなので、
面積　＝　Ａ／ｈ・ｈ^2／２　－　Ａ／ｈ・０^2／２
　＝　Ａｈ／２
　＝　底辺×高さ÷２

回答No.4

sanori

再びお邪魔します。

１年半前に、下記の過去質問に回答しました。
球の体積も、３乗が出てきて分母に３が現れますが、
それについて書いています。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2004787

お礼

ご回答ありがとうございました。

リンク先のn次元超球の話は興味深いですね。
体積は5次元のとき最大になるようですが、これは直感的には、
(2乗和の平方根という)ユークリッド・ノルムの形状が効いているのでしょうか。
nが増えると、「半径^2の争奪戦」が熾烈になり、ちょっと球の内側に行っただけで、
各座標は大きな影響を受けて縮んでしまうという解釈でしょうか。

回答No.3

sanori

よくぞ気づかれました。素晴らしいです。

まず、三角形の面積の話から始めます。
底辺の長さをＡ、高さをｈとします。
さらに、上の頂点から底辺方面へ向かう距離をｘと置きます。

三角形を底辺と平行に切って、たくさんの同じ幅で非常に細い短冊に分けます。
短冊の幅をｄｘとします。
ｄは、単独の記号ではなく、ｘと一体にｄｘと書いて「非常に幅が小さいｘ」を表します。

短冊の長さは、ｘに比例し、Ａｘ／ｈですよね？

短冊は厳密には台形ですが、そういうささいなことは置いておいて、
長方形として考えます。
１つの短冊の面積は、
横×縦　＝　Ａｘ／ｈ・ｄｘ　＝　Ａ／ｈ・ｘｄｘ
です。

全ての短冊の面積を足し算すれば、三角形の面積になります。
そこで積分というワザを使います。
（∫は積分の記号で、インテグラルと読みます。）

∫Ａ／ｈ・ｘｄｘ　＝　Ａ／ｈ・∫ｘｄｘ
　＝　Ａ／ｈ・ｘ^2／２　＋積分定数
積分範囲は、ｘ＝０からｘ＝ｈまでなので、
面積　＝　Ａｈ・ｈ^2／２　－　Ａｈ・０^2／２
　＝　Ａｈ／２
　＝　底辺×高さ÷２

以上のことを踏まえまして、次に、円錐の体積について。

底面積をＳ、高さをｈとします。
さらに、上の頂点から底面方面へ向かう距離をｘと置きます。

円錐を底面と平行に切って、たくさんの同じ厚さで非常に薄い円盤に分けます。
円盤の厚さをｄｘとします。

円盤の底面積は、ｘの２乗に比例し、Ｓｘ^2／ｈ^2 ですよね？

円盤の端っこは厳密には斜めですが、そういうささいなことは置いておいて、
非常に高さが低い円柱として考えます。
１つの円盤の体積は、
底面積×厚さ　＝　Ｓｘ^2／ｈ^2・ｄｘ　＝　Ｓ／ｈ^2・ｘ^2・ｄｘ
です。

全ての円盤の面積を足し算すれば、円錐の体積になります。
そこでまた、積分というワザを使います。

∫Ｓ／ｈ^2・ｘ^2・ｄｘ　＝　Ｓ／ｈ^2・∫ｘ^2・ｄｘ
　＝　Ｓ／ｈ^2・ｘ^3／３　＋積分定数
積分範囲は、ｘ＝０からｘ＝ｈまでなので、
体積　＝　Ｓ／ｈ^2・ｈ^3／３　＋　Ｓ／ｈ^2・０^3／３
　＝　Ｓｈ／３
　＝　底面積×高さ÷３

角錐も円錐と全く同じことですので。

回答No.1

Matix

n次元の2つの物体(例えば、立方体)があったときに、この相似比が1:aのときに、体積(測度)の比は1:a^nになっています。
その上で、2次元や3次元のようにn次元の場合に積分で円錐や角錐の体積を考えれば、x^(n-1)の積分が出て、結局1/nが出るということになります。

n次元の円錐は底面の円が球になるので、重積分を知っているのであれば、
z = h(1 - h√[ (x_1)^2 + ・・・ + (x_{n-1})^2 ]/r )
を(x_1)^2 + ・・・ + (x_{n-1})^2 <= r^2で積分してみたらどうでしょうか。これで底面の球の半径がr、高さがhのn次元の円錐の体積が計算されます。ただ、この計算は大変ですが。

まあ、直感的には、あなたの考え方はあっていますよ、ということです。

お礼

ご回答ありがとうございました。

> この相似比が1:aのときに、体積(測度)の比は1:a^nになっています。
この部分が「肝」なんですね。

円錐の体積の計算はヘビーそうですね。
機会があれば、チャレンジしてみたいと思います。