四次元とはどんな形ですか？

質問

0次元が点とか1次元が線とかいうような切り口の解説は飽きるほど見てきましたが、四次元がどんな形なのはいまだに納得するイメージが得られていません。
線も面も立体も、その図形自体がその図形を含む空間に対して、それぞれ曲線、曲面、球体等という形で「曲がる」という性質を持ち得えますよね。そこからの類推で、記述に四次元を要する図形も、その図形の外側に対して曲がった部分を持っているのだろうなということは分かります。
また同様に、線も面は言うまでもなく、立体もメッシュ球といった例があるように、1次元から3次元までの図形のどれもが、線によってその全体像を表現できるということからの類推として、四次元もメッシュのような形で線分を使って表現可能なものであるのだろうと思います。
分からないのは、四次元の図形というものは空間に対してどのような占め方をするものなのだろうということです。
面は線を無限に集めたものだとたとえられることがありますが、やはり認識的には線と面、長さと面積というものは質的に異なるものに感じられます。面と立体もやはり、厚みを持たないものと厚みもといふくらみを持つものとして根本的な差異を感じます。
そうして立体に対して四次元の図形とは何かということになるわけですが、線と面は異なる、面と立体は異なる、という類推からいくと、立体と四次元の図形も根本的に異なるものなのだと思います。また体積と超体積も質的に別物なのでしょう。しかしどうにも私自身がいまだに超体積に対して体積の単純な延長上の概念としか認識できていないように感じます。
多胞体という言葉がありますけど、この言葉を使っている専門家はともかくとして、少なくとも私にとって胞がたくさんあるような図形というのはぶどうのようなものとしかイメージできず、三次元的な認識に囚われてしまっている感が否めません。線を無限にたくさん集めたものに対する面はちゃんと質的に異なるものとしてイメージされるのに、立体(胞)をいくら集めても所詮ぶどうのような、三次元に収まるものとしか考えられないわけです。
今まで書いたことをまとめれば、四次元の図形というのは、他の図形同様曲がるという性質を持つことができて、メッシュで全体像を描くこともできるようなもので、でもそれより下のどの次元の図形とも質的に異なっている図形である、ということで四次元に対して理解しているということです。
球を無限に薄く切っていった円を、再度円を順序よく貼り合わせれば球になることは当然のことです。三次元については各z座標に対応するいくつかの断面を見ただけでも、大ざっぱにこれは「球の断面図だな」と全体像を把握できてしまうでしょう。
しかし四次元も変数を一つ固定して得られる各立体を断面図とみなすものですが、どんなに細かくいろんな断面図を見ても、そもそもある断面図とそれにごく近い断面図がそれぞれどのように「くっついているのか」がわかりません。三次元の球から得られる断面図という場合であれば、ある断面図とそのごく近くの断面図のくっつき方は、上下の断面の端がなす輪郭が円周のごく一部になっているようなくっつき方(重なり方)なわけでしょう。それが全ての断面同士の関係においてそうであるということで、その完成形の球ともイメージの整合性がとれているわけです。
他方たとえば三次元球面は、二つの二次元球面の面同士をその内部が重ならないようにくっつけた形だといます。。二つの二次元球面が代表的かつそれで全体を構成するのに必要十分な、そういう四次元の図形の断面図とみなせるものなのでしょうが、この二つの断面図のくっつき具合が皆目見当がつきません。せいぜい団子のようなイメージしかできず、これは多胞体といわれてぶどうしか想像できないように、三次元からの質的な転換がまだできていないということなのだと思います。
結局四次元とはどんな形なのでしょうか?換言すれば、四次元の断面図のくっつき具合はどのようになっているのでしょうか？

回答No.9

SI299792

＞数式がしめすところによれば。
数式で出す例です。私は３角形がどうなるか想像できるほど頭が良くないので、４角形にします。
四角形は４つの直線で囲まれていて、内角の和は360ﾟ
立方体は６つの面で囲まれているので、内角の和は360ﾟ× 6＝2160ﾟ
正八胞体（四次元超立方体）は、８つの立方体で囲まれている。
正八胞体は24面で囲まれているので内角の和は360ﾟ×24＝8640ﾟ

そういう計算は数学者に任せておけばいい。素人は間違えます。私は最初
360ﾟ× 6× 8＝17280ﾟ
と出しました。そうならないのは、立方体が２辺を共有しているように、正八胞体が２面を共有しているから。（このミスで、私には四次元を理解するのは不可能とあきらめました）
https://www.seleqt.net/programming/what-is-tesseract/
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12232469187

上：正八胞体を四次元方向から見た図。確かにこの図なら24面あります。このような図を作れる所を見ると、数学者は四次元を想像できるのかもしれません。
下：正八胞体展開図、展開図だから、展開前は繋がっている。これを想像できる人が、四次元を理解できるのでしょう。

回答No.8

Nakay702

以下のとおり、心もとないですが、自前の解釈をお答えします。

＞立体もメッシュ球といった例があるように、1次元から3次元までの図形のどれもが、線によってその全体像を表現できるということからの類推として、四次元もメッシュのような形で線分を使って表現可能なものであるのだろうと思います。
⇒確かに、球体の乗ったメッシュ模様がゆがむという形で四次元世界（の推測可能態）を表象する図がありますね。この空間のゆがみの究極の形がブラックホールで、その臨界部とも言えるシュバルツシルト半径あたりでは、光子とクオークの対生成・対消滅が頻発し、ブラックホールの内外を画していると言います。その内部は完全に光を閉じ込め（ゆえに、かつては「陥没星」とも呼ばれた）、black（外部からは見えない状態）になっていると、よく言われますね。あるいは、本体は見えないのに、円盤の垂直方向に激しいジェットを噴出しているらしい光景が辛うじて分かる場合もあるようです。この一種奇怪な状況こそ、（四次元世界とまでは言わないまでも）完全な「異次元世界」の何物でもないと思わざるを得ません。
ところで、ユークリッド幾何学にはゆがんだ空間は出てきませんが、リーマン幾何学は、この（球面上の）ゆがんだ空間の究明を本領としており、アインシュタインはそれを手がかりにして「時間と空間の結合した４次元世界」（相対論）を考えたとされます。また、宇宙像に関して、ニュートン力学では、まず箱（宇宙枠）が先にあって、そこにリンゴが入って宇宙になるという構図を想定するのに対し、アインシュタイン力学ではリンゴが存在してはじめて箱（宇宙枠）ができるのだとされます。つまり、はじめに物体（質量・エネルギー）があって、それに呼応した形の箱（容器）が形成された結果の、その全体像が宇宙だという想定です。ということはすなわち、アインシュタインの宇宙は変幻自在の形であり、それゆえにこそまた、それこそ４次元的世界だとされるわけですね。そんなわけで、上述のブラックホールといい、ここで言うアインシュタインの４次元世界といい、我々のなじんでいる３次元の手段で視覚化することは、ほとんど不可能に近い、至難のわざと言えるだろうと思います。（いろいろなことに触れた挙句、これだけのことしか言えないのがはがゆい限りです。）

＞三次元球面は、二つの二次元球面の面同士をその内部が重ならないようにくっつけた形だといます。二つの二次元球面が代表的かつそれで全体を構成するのに必要十分な、そういう四次元の図形の断面図とみなせるものなのでしょうが、この二つの断面図のくっつき具合が皆目見当がつきません。せいぜい団子のようなイメージしかできず、これは多胞体といわれてぶどうしか想像できないように、三次元からの質的な転換がまだできていないということなのだと思います。結局四次元とはどんな形なのでしょうか?換言すれば、四次元の断面図のくっつき具合はどのようになっているのでしょうか？
⇒上でも触れたとおり、「三次元からの質的な転換」で考える限り、四次元世界を表象することはむずかしいと思います。なぜなら、それは「光や時間という視覚化できない要素が絡み、２つの座標慣性系の関係を通じてしか認識できない事柄が含まれる」からです。詳細はこうです。あるxyz座標慣性系Sで（光速をc、時間をtとし、２乗を便宜的に^2と表すとすれば）、
S系では、 x^2 + y^2 + z^2−c^2 t^2 = 0 、
同じ手順でS'系では、 x'^2 + y'^2 + z'^2−c^2 t'^2 = 0
という関係方程式が成立するとされます。そこで、静止するS系から動くS'系を観測すると、その長さが (１－V^2 / C^2)^−1/2 倍になる（つまり、S'系が縮む、「ローレンツ短縮」）。S系から動くS'系の時間を見ると、S系に属する時間に比べて、S'系の時間が少しだけ遅れる*という経過が記録される（つまり、「相対論」）といいます。〔このことから、あの有名な「双子のパラドックス」が出てくるわけですね。下記＊をご参照。〕
このような一連の関係をひっくるめた状況が四次元の世界ということになりますので、これを表象するものを三次元の手法で図示することがいかに困難か、想像を絶するものがあります。ただ、四次元世界の表象図は確かに難しいけれども、説明図なら描けると思います。つまり、「１つは静止し、１つは動いている２つの慣性系を並べて描き、一定時間後に動いている慣性系の長さが縮み、時間が遅れているという状況を表す図柄」を描けばいいのですから。私はこれをもって、「四次元とはどんな形か？」とのお尋ねに対する暫定的な回答とさせていただきます。

＊双子のパラドックス：高速ロケットで宇宙の旅に出た兄が地球に戻ってみると弟がおじいちゃんになっていた。理論上の話で、時間が遅れると言っても１秒の数億分の１という数値で、日常的な感覚では検出不能です。（なお、ニュートン力学はアインシュタイン力学に含まれますが、その逆は成立しませんね。ただし、三次元など日常的な感覚内のことを考える際はニュートン力学だけで十分です。逆に、四次元や光速などが関わる非日常的な事柄を考える際はアインシュタイン力学でなければ推理も思考実験もできない、ということになります。）

回答No.7

kaitara1

いわゆる記号化という概念が役に立たないでしょうか。顕微鏡を用いると肉眼では見ることができない細菌が見えるようになるのは細菌という対象が記号化されたからという。実際の細菌はだれにもわからない。数式を用いないとわからない対象を数式が記号化してくれるとわかるようになるのも同じことのかなと思います。要するに道具の効用は記号化にあるという事かなと思います。

回答No.6

m5048172715

そうですね。

式が、(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2だとしても、その円の曲線の幅は0・・・だけど円周はあるということになってて、もう私には想像できない。

日常的な工学では、線分などの幅や、面の厚みは必ずある。

ということで、「想像はできないけど数式がしめすところによればその結論以外有り得ないだろう」に近い納得の仕方をしてる。4次元の形や空間も同様でしょうねえ。

お礼

そうなんですね。以下のページには「このような想像力を使って、「高次元」を感じて見て、「高次元の図形」を作って動かしていきます。想像力をたくましくして、心眼で観照します。」と書いてあります。
https://gendai.media/articles/-/67334?page=2
でもあなたの回答を拝見していると、それはこけおどしというか誇張的で、この書き手がいう想像とは私のいう「全体像の想像」ができてるようなものではないんだろうなと思います。

回答No.5

noname#261481

三次元形状の断面が二次元であるのと同様に四次元形状の断面は三次元なのです。
我々は三次元世界に生きて脳も三次元までしか処理できないのでこの形状を思い浮かべる事も出来ないです。
概念的にも理解できる事じゃないでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
たとえば任意の三角形の内角の和が180度と明瞭に理解するという行為は、一般的な(考えられる限りもっとも対称性が無い)三角形の全体像を把握してるからできることですよね。全体像、もっと具体的には辺と辺のつながり具合を把握しているからこそ(頭の中で)適切に補助線を引いて、その事実を理解できるというわけです。同様に四次元図形の場合にも、その全体像、つまり二次元なら辺と辺のつながりに相当する、断面図としての立体と立体のつながり具合を把握しているからこそ、四次元ですからおそらく補助線ではないでしょうがそれに相当するなんらかの幾何的操作を踏むことが可能になり、そうして解けるというような問題もあるものなのではないでしょうか？それとも四次元以上の次元の図形については専門の数学者であっても幾何的に解いているのではなく、「想像はできないけど数式がしめすところによればその結論以外有り得ないだろう」みたいな納得の仕方をしてるのでしょうか？最先端の数学者であっても、全体像の形状を想像して解いているというわけではないということですか？

回答No.4

kiha181-tubasa

わかりません。
我々は３次元空間に生きていますのでより低次元の２次元空間(平面の上だけの世界)や１次元空間(直線の上だけの世界)は想像できますが，より高次元の世界は見たこともなければ想像することもできません。
数学の世界では(a,b,c,d)の点の集合として簡単に片づけられますし，５次元から無限次元空間までも可能です。

おまけ：２つの２次元空間の交わるところは１次元空間です。（例：平面と平面の交わりは直線です）
２つの３次元空間の交わりは２次元空間です。さらに，２つの４次元空間の交わりは３次元空間です。
眉村卓の「謎の転校生」などがこの辺りをうまく説明して面白い。

お礼

回答ありがとうございます。。四次元の図形の全体像というものがあるとして、その全体像を把握していないと解けない問題があったとして、あなたが提案したようなイメージだとどうにも点数をとれるような回答を作るヒントにはなり得ない気がします。
たとえば任意の三角形の内角の和が180度と明瞭に理解するという行為は、一般的な(考えられる限りもっとも対称性が無い)三角形の全体像を把握してるからできることですよね。全体像、もっと具体的には辺と辺のつながり具合を把握しているからこそ(頭の中で)適切に補助線を引いて、その事実を理解できるというわけです。同様に四次元図形の場合にも、その全体像、つまり二次元なら辺と辺のつながりに相当する、断面図としての立体と立体のつながり具合を把握しているからこそ、四次元ですからおそらく補助線ではないでしょうがそれに相当するなんらかの幾何的操作を踏むことが可能になり、そうして解けるというような問題もあるものなのではないでしょうか？それとも四次元以上の次元の図形については専門の数学者であっても幾何的に解いているのではなく、「想像はできないけど数式がしめすところによればその結論以外有り得ないだろう」みたいな納得の仕方をしてるのでしょうか？四次元の図形の全体像としての形状を想像できないからといってその手の数学を学ぶ資質は無いんだと諦める必要はないということですか？
四次元の座標系は理論上は16個の象限で構成されていますけど、そのような四次元の図形を考察するうえで舞台にあたるもっとも基礎的なもののイメージさえつかめないというかｍどうにもそういう座標系の整合性がとれたうまい図示ができないので、大変不安になります。

回答No.3

SI299792

ます、四次元は空間ではありません（便宜上言葉かないので、四次元空間という言い方をしますが）。これは、二次元が平面であり、空間でないのと一緒です。たから、空間に対しては占めません。
　平面で平面を重ねるのが不可能なのと同じ、平面に重ねようと思えば空間が必要です。空間で空間を重ねるのも不可能です。三次元人に四次元を想像するのは不可能です、推測するしかありません。

　どうしても想像したかったら、四次元目を時間に置き換えればいいです。すると空間にいきなり点が現れ、それがだんだん大きな丸になる。その後しぼんで点になり最後に無くなる。このようなものを連想すればいかがでしょうか。
　三次元に四次元をようとするとこの様になります。球を平面に入れようとしたら、そうなるのと同じ、画像は球を平面に入れるイメージです。

お礼

回答ありがとうございます。最後にあなたが提案したようなイメージは常々行っています。ただあなたも認めるとおり、それは四次元のイメージとして適切とは思えません。四次元の図形の全体像というものがあるとして、その全体像を把握していないと解けない問題があったとして、そのようなイメージは点をとれるような回答を作るヒントにはなり得ないのだと思います。
たとえば任意の三角形の内角の和が180度と明瞭に理解するという行為は、一般的な(考えられる限りもっとも対称性が無い)三角形の全体像を把握してるからできることですよね。全体像、もっと具体的には辺と辺のつながり具合を把握しているからこそ(頭の中で)適切に補助線を引いて、その事実を理解できるというわけです。同様に四次元図形の場合にも、その全体像、つまり二次元なら辺と辺のつながりに相当する、断面図としての立体と立体のつながり具合を把握しているからこそ、四次元ですからおそらく補助線ではないでしょうがそれに相当するなんらかの幾何的操作を踏むことが可能になり、そうして解けるというような問題もあるものなのではないでしょうか？それとも四次元以上の次元の図形については専門の数学者であっても幾何的に解いているのではなく、「想像はできないけど数式がしめすところによればその結論以外有り得ないだろう」みたいな納得の仕方をしてるのでしょうか？

回答No.2

kaitara1

同じ車が昨日居た場所と今いる場所をつなげたようなものかなと思います。ただその像は時間軸についての断面としての車ですが車自体の断面でなく車そのものと考えています。ミンコフスキーの空間では時間軸が虚数になっていることと関係があるのではと想像しています。

お礼

回答ありがとうございます。。四次元の図形の全体像というものがあるとして、その全体像を把握していないと解けない問題があったとして、あなたが提案したようなイメージだとどうにも点数をとれるような回答を作るヒントにはなり得ない気がします。
たとえば任意の三角形の内角の和が180度と明瞭に理解するという行為は、一般的な(考えられる限りもっとも対称性が無い)三角形の全体像を把握してるからできることですよね。全体像、もっと具体的には辺と辺のつながり具合を把握しているからこそ(頭の中で)適切に補助線を引いて、その事実を理解できるというわけです。同様に四次元図形の場合にも、その全体像、つまり二次元なら辺と辺のつながりに相当する、断面図としての立体と立体のつながり具合を把握しているからこそ、四次元ですからおそらく補助線ではないでしょうがそれに相当するなんらかの幾何的操作を踏むことが可能になり、そうして解けるというような問題もあるものなのではないでしょうか？それとも四次元以上の次元の図形については専門の数学者であっても幾何的に解いているのではなく、「想像はできないけど数式がしめすところによればその結論以外有り得ないだろう」みたいな納得の仕方をしてるのでしょうか？

回答No.1

m5048172715

4つのパラメーターで表せればそれは4次元なのだけど、我々が現実的に把握する空間や立体は3次元なので、4次元以上の空間を抽象的にだけ理解できるのだろうねえ。

お礼

回答ありがとうございます。。
たとえば任意の三角形の内角の和が180度と明瞭に理解するという行為は、一般的な(考えられる限りもっとも対称性が無い)三角形の全体像を把握してるからできることですよね。全体像、もっと具体的には辺と辺のつながり具合を把握しているからこそ(頭の中で)適切に補助線を引いて、その事実を理解できるというわけです。同様に四次元図形の場合にも、その全体像、つまり二次元なら辺と辺のつながりに相当する、断面図としての立体と立体のつながり具合を把握しているからこそ、四次元ですからおそらく補助線ではないでしょうがそれに相当するなんらかの幾何的操作を踏むことが可能になり、そうして解けるというような問題もあるものなのではないでしょうか？それとも四次元以上の次元の図形については専門の数学者であっても幾何的に解いているのではなく、あなたおっしゃるように「抽象的」に、「想像はできないけど数式がしめすところによればその結論以外有り得ないだろう」みたいな納得の仕方をしてるのでしょうか？