Ｚ軸の周りを回転している速度に関する問題です。

質問

物理数学についての質問です。円筒座標系と速度の問題です。

ｚ軸の周りに一定の書く速度で回転している円盤を考える。このとき角速度ベクトルは（０，０，ω）で与える。
(1)円筒座標系（ｒ，θ，ｚ）における円盤の速度 ｖ＝（Ｖｒ，Ｖθ，Ｖｚ）をωを使って表せ。
(2)直角座標系（ｘ，ｙ，ｚ）における円盤の速度 ｖ＝（Ｖｘ，Ｖｙ，Ｖｚ）をωを使って表せ。
(3)角速度ωは
ω＝1/2×（∂Ｖｙ/∂ｘ － ∂Ｖｘ/∂ｙ） で表せることを示せ。

以上のような問題なのですが、まったく分かりません…
どなたか教えていただけるとありがたいです・・

回答No.1

spring135

(1)Vr=0, Vθ=ω, Vｚ=0
(2)Vx=dx/dt, Vy=dy/dt, Vz=dz/dt
x=rcosθ, y=rsinθ, z=z,rとθがｔの関数と考えて
　Vx=dx/dt=dr/dtcosθ+rd(cosθ)/dt
=dr/dtcosθ-rsinθdθ/dt=Vrcosθ-rsinθVθ
=-rωsinθ ((1)を用いて)
Vy=dy/dt=dr/dtsinθ+rd(sinθ)/dt
=dr/dtsinθ+rcosθdθ/dt=Vrsinθ+rcosθVθ
=rωcosθ ((1)を用いて)
Vz=dz/dt=0
(3)∂Vy/∂x=(∂r/∂x)ωcosθ-rωsinθ(∂θ/∂x) 　 (1)
∂Vx/∂y=-(∂r/∂y)ωsinθ-rωcosθ(∂θ/∂y)　　(2)

x^2+y^2=r^2, tanθ=y/xを用いて
　∂r/∂x=cosθ, ∂r/∂y=sinθ
∂θ/∂x=-sinθ/r, ∂θ/∂y=cosθ/r
　　(数学の公式集参照)

　(1)に代入すると
　　∂Vy/∂x=ω
(2)に代入すると
　　∂Vx/∂y=-ω
1/2×（∂Ｖｙ/∂ｘ － ∂Ｖｘ/∂ｙ）=1/2×（ω+ω)=ω