力学の質問です！

質問

以下の回答をお願いします。

質量ｍの物体Aが、つりあいのいち（ｘ＝０）を中心にｘ軸上を書く振動数ωで単振動している。

（１）物体Aの一座標ｘ（ｔ）について、運動方程式を示せ。

（２）時刻ｔにおける物体Aに位置ｘ（ｔ）を一般解で記せ。

（３）この物体に粘性抵抗Fr＝-2ｍｒｖ と時間ｔに依存する外力Fe（ｔ）＝ｍβｔ が加わった場合の運動方程式を示せ。

（４）設問（３）でもとめた運動方程式の特解を1つ求めよ。（ヒント：試行関数としてｘ（ｔ）＝aｔ+ｂを用いて、定数a,bを求める）

（５）設問（３）でもとめた運動方程式従う物体Aが南西抵抗Frによって失う単位時間当たりの運動エネルギーを求めよ。

回答No.1

Quarks

(1)単振動の振幅をＡ，初期位相をδとすると
ｘ＝Ａ・sin(ωt＋δ)
ということですね。

d^2ｘ/dｔ^2=－ω^2・ｘ
ですから、運動方程式は

ｍ・d^2ｘ/dｔ^2=－ｍω^2・ｘ

(2)　なんだか同語反復みたいですが

ｘ＝Ａ・sin(ωt＋δ)

同じことですが

ｘ＝ａ・sinωｔ＋ｂ・cosωｔ

ただし、√(a^2＋b^2)＝Ａ

(3)粘性抵抗 Fr と Fe(t) を書き加えるだけです。

ｍ・d^2ｘ/dｔ^2=－ｍω^2・ｘ－2ｍｒ・dx/dt＋ｍβｔ

(4)　ｘ＝ｐｔ＋ｑ と書けるとして、運動方程式に代入してみますと

０＝－mω^2(pt+q)－2mrｐ＋mβｔ
＝－m(ω^2p－β)t－m(ω^2q＋2rp)

これは、ｔに関しての恒等式ですから
（ア）ｐ・(ω^2)－β＝０
p=…
（イ）ｑ・(ω^2)＋２ｒｐ＝０
q=…
∴ｘ＝…

(5)　外力がする仕事＝運動エネルギーの変化
が成り立っていますから、粘性抵抗がする仕事を評価すれば良いことになります。
物体が微小距離 dｘ を移動する間に、粘性抵抗がする仕事 dＷ は

dＷ=Fr・dｘ＝dＫ
となります。（Ｋは運動エネルギーです）

ところで、単位時間当たりの仕事は
dＷ/dｔ
で評価できますから
dＫ=dＷ/dｔ
=-2mr(dｘ/dｔ)・(dｘ/dｔ)
=-2mrv^2
－は、エネルギーの損失を意味しますから、求める大きさは
2mrv^2