数学の質問（論理的に答えて下さい）

質問

pを３以上の素数とする。2/x+1/y=1/pを満たす組（x,y)のうち,2x+3yを最小にする(x,y)を求めよ。
2/x+1/y=1/pから2py+px=xy
よって(x-2p)(y-p)=2p^2・・・(3)
また、x>0,y>0から
x-2p>-2p,y-p>-p
以下省略

教えてほしいところ
x-2p>-2p,y-p>-pとなるのが非常に不安になります。
とある参考書に3<=2a+b<=4,5<=3a+2b<=6のとき、aのとり得る範囲を求めよという問題で単純に足し引きでaのとり得る範囲を決定したのは間違いである。なぜなら、式によってa,bは縛られているからみたいことが書いてありました。
これを見てから、文字式のとり得る範囲を考える場合、条件式に縛られていれば単純に考えられないのではないかと思えてきました。今回、ｐ、ｘ、ｙに関する条件式が与えられているので、x>0,y>0から
x-2p>-2p,y-p>-pと単純に考えるのは危険なんじゃないでしょうか？？
誰かアドバイスください。

回答No.2

tarame · ベストアンサー

不等式の変形は、次の基本性質のみ使います。
（１）　A＞B，B＞C　→　A＞C
（２）　A＞B　→　A＋C＞B＋C，A－C＞B－C
（３）　A＞B，C＞０　→　AC＞BC，A/C＞B/C
（４）　A＞B，C＜０　→　AC＜BC，A/C＜B/Ｃ

＞x>0,y>0から x-2p>-2p,y-p>-p　と単純に考えるのは危険なんじゃないでしょうか？？
（２）の性質を使っているので、危険ではありません。

ちなみに、　3<=2a+b<=4,5<=3a+2b<=6のとき、aのとり得る範囲を求めよという問題では、
（３）の性質により　　3≦2a+b≦4 →　6≦4a+2b≦8
（４）の性質により　　5≦3a+2b≦6　→　-6≦-(3a+2b)≦-5　とし

（５）A＞B，C＞D　→　A＋C＞B＋D　を利用します。（これは、（１）、（２）の性質から　証明できます）

各辺を加えて　6-6≦4a+2b-(3a+2b)≦8-5 →　0≦a≦3

ということで、不等式は（１）～（４）の性質を使って式変形すれば、危険ではありません！

回答No.1

mister_moonlight

＞x>0,y>0から　x-2p>-2p,y-p>-pと単純に考えるのは危険なんじゃないでしょうか？？

どうして？両辺に同じ数(＝-2p)を加えても問題ないんじゃないの？
x-2p>-2p、y-p>-p　→　x>0、y>0　にならないか？