平面の交わりについて

質問

例えば　平面A：2a+3b+c+3=0　と　平面B：3a+b+5c+2=0
の交わりを求めるとなると、条件はAかつBですから、xy平面上の２つの関数の共有点を求めるときの要領で連立方程式をたてれば求まるような気がしますが、実際にはそれでは求まりません。
何故でしょうか？

回答No.7

noname#157574

No.4 です。高校時代、数学は実業高校だったため、数学Iと数学II（電子計算機と流れ図を除く）しか履修いたしませんでした（基礎解析時代）。

回答No.6

noname#157574

No.4 です。alice_44 先生ご指摘誠にありがとうございます。
ax+by+cz+d=0 だと平面の方程式になってしまいますね。暑さボケか？

回答No.5

alice_44

交線が ax+by+cz=d という形でないことは A No.3 に、
交線がどういう式形で、どうやって求めたらいいのかは
A No.2 に書いてある。

回答No.4

noname#157574

頭の中で 2 平面をイメージしましょう。2 平面が交わってできる図形は直線で空間内にあるので，交点ではなく交線になります。交線は一般に，
ax+by+cz+d=0
の形で表されます。

回答No.3

info22_

>連立方程式をたてれば求まるような気がしますが、実際にはそれでは求まりません。

勘違いしてませんか？

m(2a+3b+c+3)+n(3a+b+5c+2)=0 (m,nはm=n=0の場合を除く実数の組)
は何を表すか、ご存知ですか？
これば平面Aと平面Bの交線を含む任意の平面の方程式です。
m,nの選び方でa,b,cのいずれかを消去できます。
その2変数しか含まないどの方程式も、平面Aと平面Bの交線を含む平面の方程式なのです。
消去によって2変数の方程式が得られたとしても、それは、決して、交線の方程式ではありません。その上に交線が乗っている平面の方程式なのです。

交線は2平面の方程式で表現するか、媒介変数表現では1つの媒介変数を使って表せます。

前者では「2a+3b+c+3=0」と「3a+b+5c+2=0」です。この方程式をいくら連立にして1変数を消去しても、残りの2変数による平面の方程式になるだけで、その平面上に交線が乗っています（つまり平面が交線を含んでいます）。
例えば
連立にしてaを消去すれば　b-c+(5/7)=0(aは任意の実数）…これは平面の方程式
連立にしてbを消去すれば　a+2c+(3/7)=0(bは任意の実数）…これも平面の方程式
連立にしてcを消去すれば　a+2b+(13/7)=0(cは任意の実数）…これも平面の方程式

連立にしてa,bについて解けば a=-2c-(3/7), b=c-(5/7) …これらはそれぞれ平面の方程式
であり、（平行でない）2つの平面で1本の交線が決まります。

後者では、交線上の１つの点と交線の方向ベクトルで交線を表します。交線上の１つの点は
たとえば2つの平面の式でa=1（これは平面の式）とおいたとき、２つの平面の式はそれぞれ直線「3b+c+5=0(a=1)」と直線「b+5c+5=0(a=1)」とになります。b,cの連立方程式として解くと(b,c)=(-10/7,-5/7)と出ます。これで交線上の1つの点(1,-10/7,-5/7)が求まりました。同様にa=0とおいてb,cの連立方程式「3b+c+3=0」と「b+5c+2=0」を解くことにより、
交線上のもう1つの点(0,-13/14,-3/14)が出ます。2つの交線上の点から方向ベクトルを求めるとt{(1,-10/7,-5/7)-(0,-13/14,-3/14)}=t(1,-1/2,-1/2)。
t=2とおくと、交線の方向ベクトルは(2,-1,-1)。
したがって交線の媒介変数表現（媒介変数t）は
　(a,b,c)=(1,-10/7,-5/7)+t(2,-1,-1)=(1+2t,-(10/7)-t,-(5/7)-t)
と得られます（この表現は交線上の定点の取り方で定数項(始点…t=0の時の点)だけが異なってきます）。

交線の求め方や表現法と2平面の連立方程式との関係について、すこし理解が出来てきましたか？

回答No.2

alice_44

実際に、それで求まりますよ。
a, b, c の中から好きな二個の変数を選んで、
A, B の方程式を、二元二連立一次方程式として解けば、
その二個の変数が、残りの一個の変数の一次式で表せます。
それが、交線の媒介変数表示です。

回答No.1

Tacosan

「求まらない」というのは, 具体的には何がどうなってしまうのですか?