球と平面の交わりである円の中心と半径

質問

球x^2+y^2+z^2=25と平面3x-4y+5z-30=0の交わりである円の中心と半径を求めよ。
という問題です。

円の中心の座標を(a,b.c)とすると、平面上にあるので3a-4b-5c=30
という条件式は求まったのですが、その他の条件式がさっぱりです。
平面をxについての式に変形して球に代入をしてみたりはしたのですが手詰まりしてしまいました。
ご回答よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>円の中心の座標を(a,b.c)とすると、平面上にあるので3a-4b-5c=30…(1)

「円の中心(a,b,c)と半径r」と「球の中心(0,0,0)と半径R=5」の間に3平方の定理が成り立つことから
　(a^2+b^2+c^2)+r^2=25…(2)

球の中心と円の中心の距離は球の中心から平面に降ろした垂線の長さに等しいことから
a^2+b^2+c^2=30^2/(9+16+25)=18…(2) なので
r^2=25-18=7
∴r=√7 …(3)
(a,b,c)を通る平面の法線は原点を通ることから
　x/3=y/(-4)=z/5（=tと置く）…(4)
この法線上に点(a,b,c)があることから
　a/3=-b/4=c/5=t…(5)
a=3t,b=-4t,c=t …(6)
(6)を(2)に代入
(9+16+25)t^2=18
∴t=3/5
(6)から
　∴a=9/5,b=-12/5,c=3

お礼

よくわかりました。丁寧な解説ありがとうございました。

回答No.1

tomokoich

球の中心と平面との距離を求めて球の半径5とその距離から円の半径は求められるのではないでしょうか