平面の方程式についてです

質問

点A（‐1,1,2）、B（2,‐3,1）のとき、Aを通り直線OBに直交する平面の方程式を求めるにはどうすればよいですか？

回答No.3

htms42

これは平面の式を決める考え方を確めているような問題です。
平面の式の公式を使うというよりはなぜ平面の式は公式のようになるのかを基本から考えるほうがいいと思います。

平面が決まると平面に垂直な線（法線）の向きが決まります。
ある法線に垂直な平面は沢山あります。ある平面に平行な平面は全て同じ法線に垂直です。
平面上にある一点を決まると平面が決まります。
したがってある一点を決めてその点を通る法線を決めるとその点を通る平面も決まる事になります。
その点をＡとします。法線を決めるためにもう１つ点を取ります。Ｂとします。ベクトルＡＢ↑が法線です。
Ａを通る平面のなかの点をＰとします。
ベクトルＡＰ↑⊥ベクトルＡＢ↑
です。
Ａ、Ｂの座標を（ａ１，ａ２，ａ３）、（ｂ１、ｂ２、ｂ３）
Ｐの座標を（ｘ、ｙ、ｚ）とすると
ベクトルＡＢ↑は（　　、　　、　　）
ベクトルＡＰ↑は（　　、　　、　　）　
です。
垂直ですからベクトルの内積＝０です。

これで点Ａを通るベクトルＡＢ↑に垂直な平面の式が得られました。
これは公式を使う問題ではありません。
公式の導き方を確認する問題です。

どうすればいいですかという質問が出るということは平面の式の単元の最初からすっぽり抜け落ちてしまっているということです。
導く途中の過程を飛ばしてしまって結果だけを公式として利用しようとしているから過程そのものを訊かれると分からなくなるのです。

お礼

ありがとうございました
なんかかん違いしていたみたいです

回答No.2

info22

教科書や参考書に載っている基礎的な式を当てはめるだけ。
もう一度、教科書を復習してみてください。

Aを通り直線OBに直交する平面の方程式は

2(x+1)-3(y-1)+(z-2)=0

です。後は式を簡単にするだけ。

お礼

ありがとうございました

回答No.1

sanori

こんばんは。
公式があったかもしれませんが、知らないので地道にやります。

平面の方程式は
ａｘ　＋　ｂｙ　＋　ｃｚ　＋　ｄ　＝　０　　・・・（あ）
と書けますね。
平面上には無限通りの直線があります。
その中で、
・Ｘ－Ｙ平面との交線は、（ｚ＝０なので）　ａｘ　＋　ｂｙ　＋　ｄ　＝　０
　なので、交線の方向（二次元での‘傾き’に相当）はベクトルで言えば、（１／ａ，－１／ｂ，０）
・Ｙ－Ｚ平面との交線は、（ｘ＝０なので）　ｂｙ　＋　ｃｚ　＋　ｄ　＝　０
　なので、交線の方向はベクトルで言えば、（０，１／ｂ，－１／ｃ）
・Ｚ－Ｘ平面との交線は、（ｙ＝０なので）　ａｘ　＋　ｃｚ　＋　ｄ　＝　０
　なので、交線の方向はベクトルで言えば、（－１／ａ，０，１／ｃ）
です。

直線ＯＢは平面の法線ですので、上記の３つの交線は、すべてベクトルＯＢ（２、－３，１）と垂直です。
垂直ということは、内積がゼロです。
（１／ａ，－１／ｂ，０）・（２、－３，１）　＝　０
（０，１／ｂ，－１／ｃ）・（２、－３，１）　＝　０
（－１／ａ，０，１／ｃ）・（２、－３，１）　＝　０

２／ａ　＋　３／ｂ　＝　０　　・・・（か）
－３／ｂ　－　１／ｃ　＝　０　　・・・（き）
－２／ａ　＋　１／ｃ　＝　０　　・・・（く）

お気づきかもしれませんが、たとえば（き）と（く）を足すと、（か）に－１をかけた式と同じになるので、３本の式は互いに独立ではありません。
ですから、３本のうち２本だけを選ぶことになります。
これで、ひとまず式が２本できました。

次に、「Ａを通る」という条件を付け加えます。
Ａを通るということは、冒頭の式（あ）に、
（ｘ、ｙ、ｚ）＝（－１、１、２）　・・・（け）
を代入したものが正しいということですね。

あとは、計算のみです。
独立な式が３本しかないのに、（あ）には、ａ、ｂ、ｃ、ｄ　の４つが入っていますが、
両辺をある数で割ったり、ある数を掛けたりしても、同じ平面の方程式です。
ですから、ａ～ｄの４つのうちの１つを好きな数に固定します。（あなたの自由）
ただし、ゼロに固定すると、たぶんまずいと思います。

以上ですが、計算ミスや書き間違いがあったらすみません。

ご参考になりましたら幸いです。

お礼

詳しくありがとうございました
助かりました