情報数学 集合論の問題

質問

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（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩Ｂ）＝（Ａ∩Ｃ）∪（Ａ∩Ｃ）
ならば
Ｂ＝Ｃ
成立するかどうか。

という問題が学校で出題されました。
どう考えればいいのか分からないので、力を貸してください。

成立するとしたら、その理由を、
成立しないとしたら、その理由と反例を教えてください。

よろしくお願いします！

回答No.2

akatsuki_0

成立すると思います。(A^c∩B)と(A∩B^c)は互いに素（共通部分がない）で、また、(A^c∩B)と(A∩C^c)も互いに素なので、(A^c∩B)=(A^c∩C)と(A∩B^c)=(A∩C^c)が帰結します。ここで、x∈AをP, x∈BをQ, x∈CをRと記号化すると、問題は
￢A∧B←→￢A∧C
A∧￢B←→A∧￢C
という2つの前提から、B←→Cを導くことに帰着します。後は真理表なり自然演繹なりでどうにでもなるかと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

reiman

（/Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩/Ｂ）：排他的論理和：Ａ⊕Ｂ
（/Ａ∩Ｃ）∪（Ａ∩/Ｃ）：排他的論理和：Ａ⊕Ｃ

Ａ⊕Ｂ⊕Ａ＝（Ａ⊕Ｂ）⊕Ａは？
Ａ⊕Ｃ⊕Ａ＝（Ａ⊕Ｃ）⊕Ａは？

真理値表でやってもいい

お礼

回答ありがとうございます。