数学の条件付き確率の問題で困ってます、、、

質問

条件付き確率の問題で解けない問題があり、困っています。
高校生で大学進学を考えています。
初質問で文章が拙い、おかしい、と思われると思いますが申し訳ありません。

入試に類題が出るのですが、学校の授業では、もちろん具体的に同じ問題はなく、わかりません。
他の問題のやり方を参考に、自力で説いてやるべき事なのはわかっていますが、
皆様のお力をお貸ししてもらえないでしょうか？
一応他の質問や、条件付き確率のP(A|B)=P(A)/P(B)程度は勉強したのですが、
私の問題では少し違うように感じられて…
---------------------------以下問題-----------------------------
牛の乳搾りでは先に
A搾乳を行い、その後でB搾乳を行う。A搾乳で生じる悪性乳製品を悪性乳A、
B搾乳で生じる悪性乳製品を悪性乳Bと呼び、
悪性乳A、悪性乳Bの生じる確率はそれぞれ0.1である。
但し、A搾乳で悪性乳Aとなった牛はB搾乳で悪性乳Bになる確率が0.2の条件付き確率となる
これらの工程で5頭の牛を搾乳をすると、全て良品乳である確率は？
---------------------------以上問題-----------------------------

こんな問題です。牛ですね、
悪い乳搾りって…？と思われるかもしれませんが、出題者の意図がわかりません……

私の予想としては、
悪性乳が出るすべての確率を全体（1）から引く感じで求めればいいのかな？
もしくは、それぞれの良品の確率を加算したもので良いかと思うのですが…

私の予想の式は
1-{5C1(0.1)^1(0.9)^4+5C2(0.1)^2(0.9)^3+5C2(0.1)^1(0.2/0.1)^1+…………｝

ですが、間違っている気がしてなりません………
式で説明なされても、式のタイピングが面倒だと思いますので、言葉で説明してもらっても構いませんが……
どうか、皆様のお力をお貸ししてもらえないでしょうか？

回答No.1

MagicianKuma · ベストアンサー

事象A：A搾乳で悪性であった。　余事象を￢A
事象B：B搾乳で悪性であった。　余事象を￢B
１頭の牛から、A搾乳・B搾乳と行うと、起き得る結果は(A,B),(A,￢B),(￢A,B),(￢A,￢B)の4通り。
さて、条件より、
P(A)=0.1、P(B)=0.1、P(B|A)=0.02
P(B|A)=P(A∩B)/P(A)よりP(A∩B)=P(B|A)・P(A)=0.02
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.18
よって、A搾乳もB搾乳も良品の確率はP(￢A∩￢B)=(P(￢(A∪B))=0.82
5頭すべてが良品の確率は　0.82^5 ≒ 0.37

お礼

素早い解答ありがとうございます。
まさかこんなに速く解答を教えてもらえるとは感激です。
MagicianKumaＳありがとうございます。