集合論

質問

ｆ：Ａ→Ｂ、ｇ：Ｂ→Ｃをともに全単射とすれば、ｇ。ｆ：Ａ→Ｃも全単射であることを示す方法はどのようのやったら良いのでしょうか？？また（ｇ。ｆ）＊－１＝ｆ＊－１。ｇ＊－１であることを証明するやり方というのはあるのでしょうかあ？？どのように考えたらいいのでしょうかあ？？

回答No.3

Caper · ベストアンサー

● まちがっていたら、ごめんなさい。

● 合成写像を表わす記号は・とします。

● g・f が全射であることの証明

c が C の任意の要素であるとする。仮定より g:B→C は全射であるから、g(B)＝C である。すなわち、
　 g(b)＝c　　　　　　… <1>
を満たす B の要素 b が存在する。さらに、仮定より f:A→B は全射であるから、f(A)＝B である。すなわち、
　 f(a)＝b　　　　　　… <2>
を満たす A の要素 a が存在する。<1> <2> より、
　 g(f(a))＝c
　 g・f(a)＝c　　　　 … <3>
である。C の任意の要素 c から A の要素 a の存在と <3> が導かれるのであるから、g・f:A→C は全射である。

● g・f が単射であることの証明

a, a' が A の任意の要素であるとする。仮定より f:A→B は単射であるから、
　 f(a)≠f(a')　　　　… <4>
である。次に、
　 b＝f(a), b'＝f(a') … <5>
とおく。<4> <5> より b≠b' である。仮定より g:B→C は単射であるから、
　 g(b)≠g(b')　　　　… <6>
である。<5> <6> より、
　 g(f(a))≠g(f(a'))
　 g・f(a)≠g・f(a')　… <7>
である。A の任意の要素 a, a' から <7> が導かれるのであるから、g・f:A→C は単射である。

● (g・f)^(-1)＝f^(-1)・g^(-1) の証明

C の任意の要素 c に対して、(g・f)^(-1)(c)＝a を満たす、すなわち g・f(a)＝c を満たす A の要素 a が存在して、なおかつ a＝f^(-1)・g^(-1)(c) を満たすことを示せばよい。

c が C の任意の要素であるとする。仮定より g:B→C は全射であるから、g(B)＝C である。すなわち、
　 g(b)＝c　　　　　　… <8>
を満たす B の要素 b が存在する。さらに、仮定より f:A→B は全射であるから、f(A)＝B である。すなわち、
　 f(a)＝b　　　　　　… <9>
を満たす A の要素 a が存在する。仮定より g:B→C は単射であることと <8> より、
　 b＝g^(-1)(c)　　　 … <10>
である。仮定より f:A→B は単射であることと <9> より、
　 a＝f^(-1)(b)　　　 … <11>
である。<10> <11> より、
　 a＝f^(-1)(g^(-1)(c))
　　＝f^(-1)・g^(-1)(c)

● 最後の証明はあやしいです。といいますのは、次の定理の証明がなされていないからです。

　「 写像 f の逆対応 f^(-1) が写像となるための必要十分条件は f が全単射であること。また、そのとき f^(-1) は全単射となる 」

回答No.5

drdevil

No.1 さんが一番大事なことを言っています．人に頼る前に工夫しなくてはなりません．f, g が全単射であるなら，簡単な場合でいいですから，それを絵に描いて考えましたか．逆についても同様です．数式だけで考えるのは慣れてからでも十分です．その前に視覚化する等，これ以上考えられないというくらい自分で工夫して下さい．

回答No.4

Caper

私は ANo.#3 で回答した者です。脱落した部分がありましたので、補正させてください。ごめんなさい。

● g・f が単射であることの証明

[ 誤 ]
a, a' が A の任意の要素であるとする。 … ( 中略 ) … A の任意の要素 a, a' から <7> が導かれるのであるから、g・f:A→C は単射である。

[ 正 ]
a, a' が A の任意の異なる要素であるとする。すなわち、a≠a' とする。… ( 中略 ) … A の任意の異なる要素 a, a' から <7> が導かれるのであるから、g・f:A→C は単射である。

回答No.2

hotarana

前者について。
素直に…
１）g○f：A→Cは全射
２）g○f：A→Cは単射
の２点を（順番はどっちでもいいから）示せばよいです。
（勿論、一気に全単射である事を示してもいいですよ。）

後者について。
＃１の方同様、逆写像の定義をまず確認して下さい。
何をどうすりゃいいか、すぐに見えてくるはず。

では、頑張って下さい。

回答No.1

ken1tar0u

教科書の全単射の定義を読み返しましょう。そして、ｇ。ｆ：Ａ→Ｃが全単射であるということはどういうことかを定義どおり書き出してみましょう。それが証明の目標地点ですね。つまり証明の最後にそれが導き出せれば良い。さて、そこに向かうスタート地点は、ｆ：Ａ→Ｂとｇ：Ｂ→Ｃですから、それを同じように定義どおり表現しなおして見ます。きっとスタート地点から目標地点までの道筋が見えてくると思います。
まずはできるとこまでやってみて改めて質問してください。

２つめの質問で、ｇ＊－１というのは g^(-1) つまりｇの逆写像でしょうね。（＊はあまり使わないのでは？）これも最初の問題と同じで、逆写像の定義をきちんと書き出せば簡単に証明できるはずです。