コンデンサ

質問

次の問題について教えてください。

無限導体平板上に，厚さｄ，底面が正方形で一辺の長さがｌ，誘電率ε，抵抗率∞の直方体の誘電体があり，その上面は正方形の導体平板に覆われている．２枚の導体板はスイッチと抵抗Ｒを介して接続されている．全体は誘電率ε．の真空中にある．導体板の端部の電界の乱れは無視してよい．
（１）スイッチが開放された状態で，導体平板に垂直かつ下向きに，強さＥ．の一様な直流電界を印加する．このとき，２枚の導体板間の電界の向きと大きさを求めよ．
（２）前問の状態のままスイッチを閉じる．スイッチには直列に抵抗Ｒがつながれている．この抵抗を流れる電流の時間変化を求めよ．
（３）前問でスイッチを閉じたまま，十分時間が経過してからスイッチを開く．その後，直流電界Ｅ．を消失すると，導体間の電界はどうなるか．

（１）ですが、ガウスの法則より、∫D・dS=Qで、電極の導体には電荷が存在しないから、
-ε．E.＋εE=0より、E=ε.E/ε
という答えになりましたがどうでしょうか。
問題は、（２）以降なのですが、
（２）はQ/C+RdQ/dt=0をといてQ=Cexp(-t/RC)
で、初期条件なのですが、V=dE=ε.E.d/εより、Q=CV=ε.E.l^2
となると思ったのですが、この場合、極板に電荷は存在するのでしょうか。
（４）はよく分かりませんでした。

ご教授お願いいたします。

回答No.1

カズ バヤ（@bayashi-3） · ベストアンサー

間違っていたら申し訳ありまぜん。

（1）スイッチ開放状態において、導体板に対して垂直な電界を印加した場合、無限導体平板上及び導体平板上に存在する電荷量の変化はありません。

よって、２枚の導体板間に電界は存在しません。

（2）回路的に見ると、抵抗とコンデンサは直列閉回路となっています。コンデンサには最終的に（定常状態においては）静電誘導によりV=εEdの電圧が印加され、抵抗にはコンデンサと逆向きにV=εEdの電圧が印加されます。
このことより、短絡した瞬間、抵抗にはV=εEdの電圧が印加され、RC回路に電流が流れると考えられる。
RC回路における定常電流は0、また過渡電流はi=A*exp(-t/τ)で与えられる。時定数τは、RC回路の場合、τ=RCで与えらる。Aは、短絡した瞬間に回路に流れる電流であり、A＝V/R=εEd/Rとなる。
よって、求める電流は、定常電流と過渡電流の和で与えられ、すなわち、i=(εEd/R)*exp(-t/τ)（∵τ=RC）となる。

（3）十分時間が経過したとき、導体板上には、コンデンサにV=εEdなる電圧がかかるだけの電荷が溜まっている。
スイッチを開くと、導体板上の電荷の移動がなくなる。もちろん、直流電界がなくなった後も、導体板上に溜まった電荷はそのままであり、導体板間にはE=V/(εd)なる電界がかかり続ける。

（4）問題が見当たりませんね（笑）

私の解答は、こんな感じになりました。

お礼

回答ありがとうございます！しばらく検討してみます。
(4)は(3)の間違いです。。失礼しました。。

補足

(1)なのですが、はじめは私もそう思ったのですが、ガウスの法則を考えたら質問文のような結論になったのですが、あれはどこが間違っているのでしょうか。

文中のEはE.ですか？それともEですか？
と思って、自分の書いた質問文を見返してみたら、(1)の
-ε.E.＋εE=0より、E=ε.E/ε
の式の最後のところがE=ε.E./ε
の間違えでした。申し訳ないです。bayashi-3さんが書かれているEはどちらのEでしょうか？

回答No.2

カズ バヤ（@bayashi-3）

そうですね。
（1）は、E=ε.E/εになりそうですね。
どう考えても、式から求まる現象としてはそうなりますね。
訂正します。m(_ _)m
すみませんでした。

私の示すEは、E.ですね。

お礼

ありがとうございました。いろいろ考えてみて、解決しました（と思います）。
やはり電場は存在すると思いました。