コンデンサーの問題です
図1のように、真空中に一辺の長さがlの正方形をした薄くて変形しない2枚の金属板A,Bを距離dだけ隔てて平行におきBを固定する。図2はA,Bを上からみた図、図3はA,Bを横からみた図である。図1.図2の斜線部分はAと重なったBの部分を表している。ただし、dはlに比べて十分小さく、以下では、金属板間に生じる電界は一様で金属板の端における電界の乱れは無視できるものとする。また、はじめA,Bには電荷はない。
2枚の金属板A,Bの位置関係を表すため、図3で示したように正方形の一辺に平行な方向にx軸をとる。Aはx軸方向にのみ平行移動できるようになっており、図1でAの左手前にある頂点Pのx座標でAの位置を表すものとする。また、図1でBの左手前にある頂点Qの位置をx軸の原点Oとする。
金属板Aがx=0の位置にあるときAB間の電気容量をCoとすると、Coは真空の誘電率εoを用いて、Co=(εol^2)/d と表される。また、Aが位置xにあるときの電気容量をC(x)とすると、
0<x<lのとき : C(x)=(l-x)Co/l
-l<x<0のとき : C(x)=(l+x)Co/l
と表される。
はじめ、金属板Aをx=0の位置に固定し、AB間に電池をつないで電圧Vをかけ、十分に時間がたってから電池を外した。次に、Aをx軸の正の向きに移動させる。Aが位置x(0<x<l)にあるとき、AB間に蓄えられるエネルギーは( )と表される。
解答には、
コンデンサーに蓄えられている電荷は常にCoVであり、コンデンサーの電気容量は(l-x)Co/lなので、極板間電圧はlV/(l-x)となるから、静電エネルギーは
(1/2)×{(l-x)Co/l}×{lV/(l-x)}^2=(lCoV^2)/2(l-x) となる。
と書かれていました。
ここで、Aに蓄えられている電荷がすべて、Bと重なっている部分(以下斜線部Aとします)に移動し、Bに蓄えられている電荷がすべて、Aと重なっている部分(以下斜線部Bとします)に移動したと仮定すると、斜線部分で構成されたコンデンサーの電気容量は(l-x)Co/lで、蓄えられている電気量はCoVなので、静電エネルギーは{(CoV)^2}/{(l-x)Co/l}=(lCoV^2)/2(l-x) となり、答えと一致します。
つまり、A,Bに蓄えられている電荷はすべて斜線部分に移動しているということになります。
しかし、Aの持つ正電荷は金属の原子核に含まれる陽子なので、移動することは不可能なのではないかと思います。また、Bにあるのは自由電子なので移動することは可能ですが、斜線部Aに蓄えられている電荷に引きつけられて、電気量の絶対値は斜線部Aと斜線部Bで同じになるので、この斜線部に蓄えられている電気量はその面積に比例すると思います。すなわち、上に書いた仮定は誤りで、電気量は {l(l-x)/(l^2)}CoV=(l-x)CoV/l と表されると思います。
従って、静電エネルギーは斜線部の面積に比例し、
[{(l-x)CoV/l}^2]/2{(l-x)Co/l}={(l-x)CoV^2}/2l になるのではないかと思います。
回答お願いします。
お礼
ありがとございます！！ 助かりました！