大学数学に関する質問です

質問

集合Ｄにおかえる関数g(x,y)の極大値と極小値を求めるというものなのですが解法がわからず困っております。
わかる方がおられましたらご教授していただきたく質問させていただきました。
よろしくお願いいたします。
(1) g(x,y) = x + y 、 D={(x,y):x^2 + y^2 = 1, x>=0 , y>=0｝

(2) g(x,y) = x^2 + 2*y^2 - x 、 D={(x,y): x^2 + y^2<=1 }

回答No.2

kamiyasiro

#1です．

2問目の範囲は
-1＜＝X＜＝1
-1＜＝Y＜＝1
ですね．

すみません．

回答No.1

kamiyasiro

応用統計で学位があり，企業で品質管理を推進する立場の者です．

これはメーカーの技術者なら一般的に行っている
設計分野における「応答曲面法」と言われる最適化の問題ですね．
設計最適化手法の中でも，特に「制約付き最適化」と言われる最適化問題です．
問題文の「極大値」「極小値」は「最大値」「最小値」の間違いですね．
限定された設計空間内には必ずしも極値（微係数＝0）は存在しませんから．

なお，今はx，yですが，現場では，x1，x2，・・・・，xp，・・・・，xn　とn次元空間になっており，
g(x，y)という関数が応答関数で，通常はxpの2次関数です，
応答関数が複数あるときが，多目的最適化問題となります．
通常，設計変数は0＜xp＜1のキュービックな空間の中をどこでも自由に動けますが，
今回は，(1)では半径1の円周上，(2)では円の内側しか取りえません．
ですから「制約付き最適化」問題となっているのです．

なお，企業では，算術で求めずに，「ダウンヒル・シンプレックス」か「遺伝的アルゴリズム」で
探索的に解を求めます．

(1)のヒント
x，yは0<=x<=1，0<=y<=1　しか取りえないのだから，
x＋yの式で表される応答の，一番小さい値0から順に，制約条件と共通解を持つかどうかを調べます．
今，応答の値をcとすると，応答関数は y＝c－x となり，切片cを変えることで条件を満たすかどうか
調べていきます．

0<=c<1 の時は共通解なし
c＝1 の時（1，0），（0，1）において最小値c＝1
c＝√2 の時（√2/2，√2/2）において最大値ｃ＝√2
√2<=c<=2 の時は共通解なし．

(2)のヒント
画像を参考にして下さい．
今度は制約は円の内側は可です．
(1)同様，応答関数の高さをcと置いて，制約領域と共通解を持つかどうか
0から調べていきます．