極大値と極小値を持つ条件

質問

定数を含む関数y=f(x)が極大値と極小値を持つ条件を求める方針として

f'(x)を求めてf'(x)=g(x)-aのように分離して、y=g(x),y=aが「異なる2点で交わればよい。」とありますがなぜでしょうか。

どなたか教えてください。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

＞f'(x)を求めてf'(x)=g(x)-aのように分離して、
＞y=g(x),y=aが「異なる2点で交わればよい。」

つまり、f'(x)=0が異なる2実根を持てば良いということですね。

f'(x)＝(x-1)(x+2)＝(x^2)+x-2　、
f(x)={(x^3)/3}+{(x^2)/2}-2x+1
は極大値と極小値を一つずつ持ちます。

f'(x)=(x-1)(x+2){(x^2)+x+1}＝(x^4)+2(x^3)-x-2
f(x)＝{(x^5)/5}+{(x^4)/2}-{(x^2)/2}-2x+1
も極大値と極小値を一つずつ持ちます。

しかし
f'(x)=(x-1)(x+2)(x+4)のように異なる2実根だけでなく異なる3実根以上でも極大値と極小値を持ちますよ。

一般にf'(a)=0で
（１）x=aの前後でf'(a)の符号が正から負に変わるときf(x)は極大値f(a)を取る。
（２）x=bの前後でf'(b)の符号が負から正に変わるときf(x)は極小値f(b)を取る。

f'(x)はy=f(x)の接線の傾きを表しますので符合が変わる前後で関数が増加から減少に、あるいは、減少から増加に変わりますので、符合が変わるxの所で極値を取るわけです。

お礼

皆さんの回答と自分でもう一回考え直してみたら、この問題に関しては簡単に簡単に理解できました。

ありがとうございました。

回答No.2

noname#101087

>定数を含む関数y=f(x)が極大値と極小値を持つ条件を求める方針として
>f'(x)を求めてf'(x)=g(x)-aのように分離して、y=g(x),y=aが異なる2点で交わればよい....

ふつうなら、f'(x)=0 が x 軸上の異なる2点にて成立てばよい、ですよね。
その a は何か特別な値なのですか?

回答No.1

N64

異なる３点ではないでしょうか。
y=a のグラフと、異なる３点で交わる曲線を描いてご覧ください。