系全体が初速度を持つバネマスモデルの計算

質問

物体X（変位x）と物体Y（変位y 、質量m）がバネ（バネ定数k）によって接続されており、
その全体が等速度（vo）運動しているとします。また、この運動中はバネは自然長を保っているとします。

この条件下で、Xに既定の動作 x(t) を与えた時のYの変位 y(t) を求めたいと考えています。
運動方程式は下式のようになると思います。（そもそもこの式であっているのでしょうか・・・）

　　m×y''(t) = k×（ x(t) - y(t) ）

この式から y(t) を計算することは、近似的にならExcelでも容易ですが、
このとき初期条件としての速度をどのように盛り込めば（考慮すれば）いいのでしょうか？

基本的なモデルだとは思うのですが、全体が初速度を持つパターンになった途端
理解できなくなってしまいました。よろしくお願いします。

　　　y
　　 ←
　 　m　　　k　　　　　　・全体が初速度voを持つ
　 　○―バネ―┫　　・ある時間 to から dx/dt を変化させた時の y(t) は？
　━━━━━━┛
　　　　←
　　　　 x

（初速0だと、質問番号：1325465の状況がほぼ同じですかね。）

回答No.1

agoraphobi

系全体が速度voをもっているときに，
物体Xに外から力を加えて，速度を与えるんですね？
このときに系に運動量mx vxが与えられて，その後は一切外力はないのだから，
重心の運動量保存から，重心の運動は簡単に決まりますよね．

あとは相対座標の運動ですね．

［補足：こういう問題では，物体Xと物体Yの座標（「１粒子座標」）を使うより，
相対座標を使った方が扱いやすい．つまり，１粒子座標 (x, y) から，

R = (mx x + my y)/(mx + my)
r = x - y

に座標変換するのです．］

相対座標 r の初速度は，r'(t=to) = x'(t=to) ですから，Xと同じです．
相対座標は，自然長より長くなるとばねの引っ張る力がうまれるので，運動方程式は，

μ r'' = -k( r - ro )　( ro を自然長としました．μ は換算質量；1/μ = 1/mx + 1/my ）
初期条件：r'(t=to) = x'(t=to)（この値を決めないと解けません）

となります．あとは微分方程式を解くだけです．
答えは計算するまでもなく，単振動ですね．

あと，１粒子座標に直すには，x, y を R, r で書けばいいのです．
上に書いた変換式から，導けます．

お礼

回答ありがとうございます。

相対座標の考え方、大変ためになりました。ですが、実は入力条件が異なっていて。

入力は、t=to以降のXの変位（速度、加速度）なんです。つまり外力は与えられ続ける状況です。
書き方があいまいで申し訳なく存じます。
こうなるとX側の質量は無関係で、相対座標の導入はできない…　ですよね？