衝突後のグラフ

質問

｜～～～～～～ＡＢ～～～～～～｜（ばねはいずれも自然長）

ばね定数ｋ、自然長２のばね、を図のように配置
ちょうど物体Aと物体Bは接触している。
右向きにｘ軸を固定して、ABの接触点を０とする

ｔ＝0のとき物体AをX＝-1から初速０で、物体Bは右向きに初速ωを加える。

すると
Xa=-cosωt、Xb=sinωt（ω＝√(ｋ／ｍ））
で表されますよね？
AとBがはじめて衝突するときｔ1とすると
t1＝３π／4ω
そのときのA、Bの速度は
Va1＝ω／√2、Vb1＝－ω／√2
そのアト
A、B完全弾性衝突したらどうなるか教えてほしいです。

完全弾性衝突したときはXa＝sinωt、Xb＝-cosωtとなるのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

Umada · ベストアンサー

ONEONEさんこんにちは、先日の摩擦の問題以来になります。

単なる記入漏れかと思いますが、
・mは物体の質量であり、かつ物体A, Bとも質量mである
・ばねは十分に軽い(質量を無視できる)
・摩擦は無視する
ということでいいですよね。またばねの自然長の「2」というのが、無次元数で気持ち悪いので「2L」にさせてください。(計算が全部終わった後でL=1を代入すればいいわけです)

Aの位置Xa、Bの位置Xbについての表式はおっしゃる通りでよいと思います。(注: 私の表記では、Bに与える初速はLωになります)
Xa= -L cosωt　　　(1)
Xb= +L sinωt　　　(2)
グラフを描けばほとんど明らかですが、最初の衝突がおきる時刻、そのときのA, Bの速度についてもそれぞれ、おっしゃる通り3π/(4ω)、Lω/√2、-Lω/√2です。

さて衝突においては
mVa+mVb=mV'a+mV'b　　　(3)　←運動量の保存則です
(Va-Vb)×(-e)=V'a-V'b　　　(4)
が成立します。ここにVa, Vbは物体A, Bの速度、V'a, V'bは衝突後の速度、eは反発係数です。この問題では完全弾性衝突ですからe=1です。
これらの関係を使って(3)(4)を書き直すと
Va+Vb=V'a+V'b　　　(5)
-Va+Vb=V'a-V'b　　　(6)
辺々加えると
2Vb=2V'a　　　(7)
となります。また辺々減ずれば
2Va=2V'b　　　(8)
ですので、衝突の前後でAとBが速度を交換することが分かります。(質量が同じ物体が完全弾性衝突する際に一般に言えることです)

よって物体A, Bはその次の衝突までの間
Aは「時刻3π/(4ω)で、物体の位置(=ばねの伸び)L/√2において、初速-Lω/√2を与えた時の単振動」
Bは「時刻3π/(4ω)で、物体の位置(=ばねの縮み)L/√2において、初速Lω/√2を与えた時の単振動」
をすることになります。
どのような運動になるかはグラフを描けばほとんど明らかですが、おっしゃる通りA, Bそれぞれの運動は
Xa= +L sinωt　　(3π/(4ω)≦t≦7π/(4ω))
Xb= -L cosωt　　(3π/(4ω)≦t≦7π/(4ω))
で結構です。(問題ではL=1ですので、最後はL=1を代入してください)
7π/(4ω)は申すまでもなく、次の衝突の起きる時刻です。

お礼

・mは物体の質量であり、かつ物体A, Bとも質量mである
・ばねは十分に軽い(質量を無視できる)
・摩擦は無視する
そのとおりでございます。

自分では簡単のつもりだったけど・・・
やっぱ文字で置いたほうがよかったですね。

とっっても詳しい解説ありがとうございます。

補足

このようなうつけ者にどうもありがとうございました。