数学の幾何学の問題がわからないです。

質問

n∈Nに対し、Z上の同値関係～nを次のように定め、x∈Zの同値類を[x]n、商集合をZ/～nをZ/～nZで表す。

x～ny⇔(x-y)/n∈Z

次の写像の定義はwell definedかどうか調べよ。
(1)
f: Z/4Z → Z/2Z ; [x]4 → [x]2

(2)
g: Z/2Z × Z/3Z → Z/6Z ; ( [x]2 , [x]3 ) → [xy]6

どちらか片方だけでもおしえてくれませんか？？
さっぱりわからないのです。

回答No.2

sunflower-san

まず、これは通常幾何学とはいいません。代数学、もっといえば整数論の問題です。

(1)
整数 m が x +(4の倍数) の形の数なら、m は x +(2の倍数)の形の数でもあります。
つまり写像 f は矛盾なく定義されます(= well-definedです)

(2)
整数 m が x +(2の倍数) の形の数で n が y+(3の倍数) の形の数なら、mn はつねに xy+ (6の倍数)の形の数になるでしょうか？
そうでないと g は矛盾を含み、定義になりませんよね。

もし g が well-defiend であるなら、例えば
g([0]2, [1]3) = [0]6 ......(式 a)
ですよね？
一方で、
g([2]2, [1]3) = [2]6 ......(式 b)
です。
いま、(2 -0)/2 ∈ Z なので [0]2 = [2]2 です。つまり、(式 a)の左辺 = (式 b)の左辺
一方、(2 -0)/6 ∉ Z なので [0]6 ≠ [2]6 です。つまり、(式 a)の右辺 ≠ (式 b)の右辺
これは明らかに矛盾してますね。

つまり、g は well-defined ではない(定義になってない)わけです。

回答No.1

stomachman

x～ny ってのは、差がnの倍数であるもの同士は「おんなじ」としましょ、ということ。言い換えれば「nで割った余りが同じ」という同値関係です。
　(1)はですね、たとえばx（∈Z）から[x]2への写像というのなら全然問題ない。けれども、[x]4から[x]2への写像を考えるんですから、「4で割った余りがある値aであるような数xなら、どんなxでも答[x]2が同じになる（つまり、答は余りaだけで決まる）」ということが成立っていないといけない。これがwell definedということです。
　(2)の方も同様に、[x]2と[y]3から[xy]6への写像を考えるには、「2で割った余りがある値aであるような数xと、3で割った余りがある値bであるような数yであれば、どんなx,yでも答[xy]6が同じになる（つまり、答がa,bだけで決まる）」ということが成立たなくちゃいけない。