交換関係

質問

スピン演算子を→Ｓ、軌道角運動量演算子を→Ｌとするとき、これらと可換なベクトル→Ａに対して、以下の関係が成立することを示せ。

　　　[→S,→S・→A]＝-i(→S×→A)

という問題なのですが、どのようにアプローチしていいのかわかりません。
→Ｓのｘ成分のみを調べてみましたが、左辺と右辺は一致しませんでした。
どなたかご教授お願いします。

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

>でも、この問題の場合は、[S_x,A_x]=[S_y,A_y]=[S_z,A_z]=0とはなりますが、[S_x,A_y]や[S_y,A_z]など添え字が異なる場合はゼロになるとは限らないのではないでしょうか？

あぁ、そういう事が気になっているわけですか。
ベクトル→Ａと書いていますが、何だかんだ言っても、単なるA_x,A_y,A_zという３つの演算子の組でしかありません。(回転に関する変換則に関してある種の条件が課されていると思いますが)
これがベクトル→Ｂと可換と言ったら、基本的には、→Ａの任意の成分と→Ｂの任意の成分が可換という事を意味するはずです。式で書けば、[A_i,B_j]=0が任意のi,jで(i≠jでも)成り立つという事です。

お礼

ありがとうございます。おかげで漸く理解することができました。
基礎的事項が理解できてませんでしたので、これからは質問する前に徹底的に調べ上げて、それでも解らない場合に投稿しようと思います。
今回は、本当にありがとうございました。

回答No.2

eatern27

>（左辺）の第二、第三項目は可換を用いれば解けますでしょうか？中々うまくいかないです...。
可換の定義を交換子を使って書くとどうなるか分かります？

>それから、一般に軌道角運動量演算子→lとスピン演算子→sは、[→l,→s]＝0でしょうか？
まぁ、可換と考えて問題ないと思いますよ。
ただ、私はよく知りませんが、一般論としては可換である必要はなく、より深い理論では非可換となるようです。(←多分。検索してもそれらしい記述がないので、別のものと勘違いしているかも)。

お礼

お返事ありがとうございます。

＞可換の定義を交換子を使って書くとどうなるか分かります？

一般に、交換関係[A,B]=AB-BAがあるとすると[A,B]=0ですよね。
でも、この問題の場合は、[S_x,A_x]=[S_y,A_y]=[S_z,A_z]=0とはなりますが、[S_x,A_y]や[S_y,A_z]など添え字が異なる場合はゼロになるとは限らないのではないでしょうか？

回答No.1

eatern27

仰るように成分ごとに計算すればいいですね。

・角運動量の交換関係：[S_i,S_j]=iε_ijk S_k
・任意の演算子A,B,Cについて,[A,BC]=B[A,C]+[A,B]C
・(→A×→B)_i=ε_jki A_j B_k

を使って下さい。

お礼

レスありがとうございます。
（右辺）＝-i(→S×→A)_x＝-i(S_yA_z-S_zA_y)
（左辺）＝[→S,→S×→A]_x＝-i(S_yA_z-S_zA_y)+S_y[S_x,A_y]+S_z[S_x,A_z]
となりましたが、（左辺）の第二、第三項目は可換を用いれば解けますでしょうか？中々うまくいかないです...。

それから、一般に軌道角運動量演算子→lとスピン演算子→sは、[→l,→s]＝0でしょうか？

二つも質問してすみません。