３つの比「１：２：３」と「１：４：６」がどの程度近いか（距離，類似度）を求める方法がわからず，困っています・・・

質問

３つの比「１：２：３」と「１：４：６」の比の近さと，「１：２：３」と「１：５：１０」がどの程度近いか（距離，類似度でもいい）を求める方法がわからず，困っています．

例えば，簡単に推測可能な，２つの比でやると，
＜例１＞　(1)「１：２」と「１：３」の距離と，(2)「１：２」と「１：６」の距離がどちらが近いかは，
(1)　＜　(2)
だと，誰もがわかると思います．
また，
＜例２＞(1)と，(2)と，(3)「１：３」と「１：１０」の距離に対しても，
(1)　＜　(2)　＜　(3)
だと，感覚的にわかると思います．

これを応用して，「３つの比の類似度（比較）」を数値で表す方法はどのようにするのでしょうか？

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今まで思いついた案を，先ほどの２つの比の例でやってみます．
（※以下，分数の計算は小数点0.01未満切り捨て）

【案１】　左辺を１に正規化して，右辺を「引いた絶対値」
＜例１＞　(1)|3-2|=1　< (2)|6-2|=4　　＝＞　(1)が(2)より 3 近い
で表す方法が考えられます．
しかし，この場合，
＜例２＞　(1)1 < (2)4 >？？？ (3)|10-3|=7　
となり，感覚と違ってしまいます．

【案２】　左辺を１に正規化して，右辺を「前から後ろを割る」
＜例１＞　(1)|2/3|=0.66　>？？？ (2)|3/6|=0.5　　＝＞　(1)が(2)より|0.66-0.5| = 0.16 近い？
となり，符号が逆になってしまいます．

【案３】　左辺を１に正規化して，右辺を「後ろから前を割る」
＜例１＞　(1)|3/2|=1.5　< (2)|6/3|=2　　＝＞　(1)が(2)より|1.5-2| = 0.5 近い
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　もしくは，|1.5/2| = 0.75 倍
と表す方法が，今のところ，妥当だと考えています．
また，この場合は，
＜例２＞　(1)1.5 < (2)2 < (3)|10/3|=3.33
＝＞　(1)が(3)より|1.5-3.33|= 1.83 近い，|1.5/3.33|= 0.45 倍
＝＞　(2)が(3)より|2-3.33|= 1.33 近い， |2/3.33|= 0.60 倍
となり，綺麗に比較できます．
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しかし，３つの比「１：２：３」と「１：４：６」との比較をする場合，
案１の引き算では，それぞれの辺を引いた絶対値（|4-2|+|6-3|，2辺の足し算でいいかどうかは不明）を取る方法が考えられますが，
２つの比の結果より，直観と異なると思います．

また，案２，３割り算も，どれをどう割ったらいいのか，わかりません．

以下，メモです．
（よりよい解法・説明を導くうえで，もし何かの参考になりましたら幸いです．）
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（例えば，4/2+6/3？，(4/2)*(6/3)？，でもこの連結演算子になる理由は？）
感覚的には，３つの比というのは，3軸のベクトルと似ている気がします…
例えば，A=(1,2,3)，B=(1,4,6)とおいてみると，
内積A・B = 1*1+2*4+3*6 = 24，
外積A×B = (a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)=(2*6-3*4, 3-6, 4-2) = (12, -3, 2)，
となる．
ただ，これらが何を意味しているのかは，私にはさっぱりわかりません．
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３つの比の比較をする計算方法をご存じの方がいれば，教えていただけないでしょうか？
正直，私は難しく考えすぎる傾向があり，案外，簡単なことなのかもしれません．
実際にどんな比重を対象にするかで，正解はないのかもしれませんが…．

よろしくお願いします．

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

%%%%引用開始
【案１】　左辺を１に正規化して，右辺を「引いた絶対値」
＜例１＞　(1)|3-2|=1　< (2)|6-2|=4　　＝＞　(1)が(2)より 3 近い
で表す方法が考えられます．
しかし，この場合，
＜例２＞　(1)1 < (2)4 >？？？ (3)|10-3|=7　
となり，感覚と違ってしまいます．
%%%%%引用終了

「例2」がわからない.
なんで，(1)1 < (2)4 > (3)7 なんだろう？
(1)1 < (2)4 <(3)7
じゃないの？

で・・・比ってのは，「正規化」することで次元が落とせます．
一般にn+1個の比 a1:a2:a3:a4:・・・:an:an+1 は
どれか必ずは0ではない ai が存在するので，
そのaiで割り算することで，かならず「正規化」できます．
そして，正規化することで，普通の「座標」とみなせます．
ということで，「比の全体」は
n+1個の「座標」によって覆われていると考えられます．
となると，「二つの比」の距離として考えられるのは，
「二つの比が同じ座標にあれば，その座標での距離」
と考えるのは自然でしょう．
「二つの比がどうやっても同じ座標にないときは，距離は無限大」
とみなしておきます．
無限大とみなすことの意味は，
比1:0と比0:1を考えればなんとなくわかると思います．
＃気分としては，1:0が0で，0:1が1/0の感覚で「無限大」
＃数学的には「実数の一点コンパクト化」という操作に相当して
＃実数の「端っこ」を結んで円周にしてしまうイメージ
＃xy平面で「直線」の傾きを考えることにも対応する．
＃y=axでaを無限にするとy軸になって，それを超えると
＃マイナスで絶対値の大きな数がでてくるのが「円周」の雰囲気

これが一つの考え方で，
数学では比全体の集合を「射影空間」と呼び，
きわめて重要な研究対象です。

別の視点からみると・・・・
射影空間は「比の集合」ですが，
比 a1:a2:・・・:an:an+1 を与えることは
n+1次元空間で
a1 x1 + a2 x2 + ・・・ + an xn + an+1 xn+1 = 0
という原点を通る超平面を定めることと同じです．
ということで，「比の距離」を考えることはすなわち，
原点を通る「超平面の距離」を考えることと同じです．
ということで，あとは「超平面の距離」という
比較的目に見えるもので解釈できます．
比1:0と比0:1の例でいけば
比1:0は x=0（y軸），比0:1はy=0（x軸）になるわけで，
考えるのは「直線どうしの距離」．
あとはこの「直線どうしの距離」として
妥当なものを考えればいいのでしょう．
＃角度（法線ベクトルのなす角やその正弦や正接）が直観的かな

けども・・・
＞実際にどんな比重を対象にするかで，正解はないのかもしれませんが…．
結局はそういうことです．
普通の距離だって
ユークリッド距離だとかマハラノビス距離とか
いろいろあるし，実際問題としては
「時間的に近い」とか
「交通費が安ければ近いと見なす」というような
尺度だってあります．

お礼

＞kabaokaba様
専門的でかつわかりやすい説明をありがとうございます．

すみません．引用いただいた箇所，質問が間違ってました．
%%%%引用開始　【訂正個所】
【案１】　左辺を１に正規化して，右辺を「引いた絶対値」
＜例１＞　(1)|3-2|=1　< (2)|6-2|=4　　＝＞　(1)が(2)より 3 近い
で表す方法が考えられます．
しかし，この場合，
＜例２＞　(1)1 < (2)4 【<】 (3)|10-3|=7　
となり，感覚と合っています．
%%%%%引用終了

Nつの比　＝＞　正規化したN列の座標ベクトルである
ということまでは理解しました．

ただ，Nつの比の距離は，
・それぞれの比を代入したa1*x1+a2*x2+...+an*xn = 0（原点），を通る「超平面の距離」と同じ
というのは，まだ理解できていません．

＞比1:0と比0:1を考えればなんとなくわかると思います．
N=2のとき　＝＞　二つの直線の距離，というだけでも苦戦しています．

（比0:1，比1:0の例　＝＞　直線x1=0と直線x2=0の距離（2次元平面でいう，x軸直線とy軸直線との距離）ということまでは理解できましたが，
　x軸とy軸の直線間の距離　＝＞　角度＝90°？　＝＞　どんな式で距離を求めるの？・・と理解が追いつきませんでした．）
過去の質問に，2直線の距離を計算する方法が書いてありましたが，思ったよりややこしいのですね．もう少し勉強しないと…．
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=77895

間違っていることを前提に書きますが，
座標ベクトルA(a1,a2)=(0,1) とB(b1,b2)= (1,0) とのユークリット距離を考えると，
√( (b1-a1)^2 + (b2-a2)^2 ) = √(1+1) = √2
となって，無限大にならなくなります．
感覚的には，
|B| - |Aa| = |1/a2| - |b1/b2| = 0/1 - 1/0 = 0 - ∞ = ∞
という感じなのかなぁ・・と思っているのですが，式はめちゃくちゃです．

「射影空間」，これはまだまだイメージがつかめていません．ベクトルの座標系変換や，座標系間の類似度などを感覚的に理解するために，重要な概念であることはわかるのですが…．