置換積分の問題

質問

√x/(1+√x)を置換積分で解こうと思うのですが、
√x=tとおいて
x=t^2
dx=2tdt
与式=∫t/(1+t)*2tdt=2∫t^2/(1+t)dt

ここから先はどのように解けば良いのでしょうか？

回答No.1

proto · ベストアンサー

(t^2)/(1+t) = (t^2-1)/(1+t) +1/(1+t)
　　　　　　　　= (t+1)(t-1)/(1+t) +1/(1+t)
　　　　　　　　= t-1 +1/(1+t)
と変形できます。
t-1と1/(1+t)をそれぞれ個別に積分してください。

お礼

解けました(゜∀゜)
変形は重要なんですね。
ありがとうございます。

回答No.3

info22

>ここから先はどのように解けば良いのでしょうか？

部分分数展開してから積分するだけ。

>与式=∫t/(1+t)*2tdt=2∫t^2/(1+t)dt
=2∫[t-1+{1/(1+t)}]dt
=t^2-2t+2ln|1+t|+C
あとは　
>√x=tとおいて
を代入してxに戻しておくだけ。

お礼

部分分数をつかってもとけるんですね。
おかげさまで解くことができました。
ありがとうございます。

回答No.2

nag0720

√x=tではなくて、√x+1=tとおいてみたら。

お礼

この方法でもとけました。
参考ありがとうございます。