不定積分の問題

質問

解き方がわかりません(>_<)置換積分で上手くいかなかったのですがどうしたらいいでしょうか？
∫１/(ｘ^４＋４)ｄｘ

∫ｘ^２/(ｘ^４＋４)ｄｘ

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

x^4+4=(x^2+2)^2-4x^2=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)
なので

1/(x^4+4)=(1/8){(x+2)/(x^2+2x+2)}-(1/8){(x-2)/(x^2-2x+2)}

(x^2)/(x^4+4)=(1/4){x/(x^2-2x+2)}-(1/4){x/(x^2+2x+2)}

と部分分数分解できます。

[前半の設問]
Ia=∫1/(x^4+4)dx
=(1/8){∫(x+2)/(x^2+2x+2)dx-∫(x-2)/(x^2-2x+2)dx}
=I1-I2
I1=(1/8)∫{(x+2)/(x^2+2x+2)dx
x^2+2x+2=(x+1)^2+1,x+1=tで置換積分して
(途中略)
=(1/16)log(x^2+2x+2)+(1/8)arctan(x+1)+c1

I2=(1/8)∫{(x-2)/(x^2-2x+2)dx
x^2-2x+2=(x-1)^2+1,x-1=tで置換積分して
(途中略)
=(1/16)log(x^2-2x+2)-(1/8)arctan(x-1)+c2

∴Ia=I1-I2
=(1/16)log{(x^2+2x+2)/(x^2-2x+2)}
+(1/8){arctan(x+1)+arctan(x-1)}+C
=(1/8)log{(x^2+2x+2)/(x^4+4)}+(1/8){arctan(x+1)+arctan(x-1)}+C
（C=c1-c2:積分定数)

[後半の設問]
Ib=∫x^2/(x^4+4)dx
=(1/4){∫x/(x^2-2x+2) dx-∫{x/(x^2+2x+2)}dx}
＝I3-I4
I3=(1/4)∫x/(x^2-2x+2) dx
x^2-2x+2=(x-1)^2+1,x-1=tで置換積分して
(途中略)
=(1/8)log(x^2-2x+2)+(1/4)arctan(x-1)+c3

I4=(1/4)∫x/(x^2+2x+2) dx
x^2+2x+2=(x+1)^2+1,x+1=tで置換積分して
(途中略)
=(1/8)log(x^2+2x+2)-(1/4)arctan(x+1)+c4

∴Ib=I3-I4
=(1/8)log{(x^2-2x+2)/(x^2+2x+2)}
+(1/4){arctan(x-1)+arctan(x+1)} +C
=(1/4)log(x^2-√2x+2)-(1/8)log(x^4+4)
+(√6/12){arctan(x-1)+arctan(x+1)} +C
(C=c3-c4:積分定数）

お礼

解けました！ありがとうございます(>_<)

回答No.2

alice_44

x^4+4 = (x^2+2i)(x^2-2i)
= (x+1+i)(x-1-i)(x+1-i)(x-1+i)
から複素係数で部分分数分解してもよいし、

(x+1+i)(x-1-i)(x+1-i)(x-1+i)
= {(x+1+i)(x+1-i)}{(x-1-i)(x-1+i)}
= (x^2+2x+2)(x^2-2x+2)
とまとめるなり、

x^4+4 = (x^2+2)^2-4x^2
= (x^2+2+2x)(x^2+2-2x)
と分解するなりして、
実係数で部分分数分解してもよい。

実部分分数分解を使えば、
1/(x^4+4) = (1/8){(x+2)/(x^2+2x+2) - (x+2)/(x^2-2x+2)}
= (1/16){(2x+4)/(x^2+2x+2) - (2x+4)/(x^2-2x+2)}
= (1/16){(2x+2)/(x^2+2x+2) - (2x-2)/(x^2-2x+2)}
　+ (1/8){1/(x^2+2x+2) + 3/(x^2-2x+2)}.

お礼

解けました！！ありがとうございます！

回答No.1

Tacosan

とりあえず部分分数に分けてから考える.

お礼

分母が(ｘ＋４)^４ならなんとかなりそうですが、分母ｘ^４＋４の部分分数分解って出来るんですか？？