円、おうぎ形の問題（難問です）

質問

次の問題の解答がさっぱりわからなくて困っています。
よろしくお願いします。

長さ4の線分ABについて、2点A、Bを中心にそれぞれ半径4の円をかき、
交点の1つをPとする。

（1）△ABPに内接する円O1、BPを弧とするおうぎ形ABPに内接する円O2について

（円O1の半径）=ア√イ/ウ、（円O2の半径）=エ/オ

（円O1の面積）：（円O2の面積）=1：カ/キ　であり、

円O1の中心をO1、円O2の中心をO2とすると

O1O2=ク-ケ√コ/サ　である。

（2）線分AB、弧AP、弧BPのすべてに接する円O3の中心をO3とすると

sin∠O3AB=シ/ス　であり、

△O3ABの外接円O4の半径はセソ/タチである。

また、点A´が円O4の周上にあるとすると、△O3A´Bの面積の最大値は　ツテ/トナ　である。

回答No.3

Tacosan

そうか, 同じ問題なのか.

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q7077410.html

回答No.2

banakona

「難問」ってほどでもないなぁ。普通かな。

特にエ、オなんて小学生レベルでしょ。

というわけで（１）はそっくり省略。

（２）左図で、ＡＢの中点とＡ、Ｏ3を結んで成る直角三角形で三平方の定理を使ってｒを求める。

　　ｒが分かれば　sin∠O3AB＝ｒ／（４－ｒ）　で求まる。

　　外接円の半径は正弦定理で出る。

　　、△O3A´Bの面積が最大になるのは、Ａ'が右図Ｃの位置に来たとき。
　　　ＣはＯ3Ｂの垂直二等分線と外接円の交点の内、Ｏ3Ｂから遠い方。
　　　近い方の交点をＤとし、ＣＤとＯ3Ｂの交点をＥとする。
　　　ＣＥを求めてＥＢを掛ければ　ツテ/トナ　が出る。

　　　ＣＥ＝ｘ　と置いて、△Ｏ3ＣＥ∽△ＤＯ3Ｅ　を利用して2次方程式を
　　　立てればいいけど、ちょっと複雑かも。
　　　でも因数分解できるし、これが難しければ解の公式を使ってもいい。

　　　もっと楽な解き方もあるかもしれないけど。
　　　高校生でしょ？　がんばって。

回答No.1

Kules

「問題の難易度を決めるのは回答者じゃないのか」とか
「円O1が本当にわからないのであればこの問題が難しいかどうか判断できないのでは」とか思いますが、
あんまり迂闊なことを書いて消されるのもなんなんでこの辺にして。

・（円O1の半径）
三角形の内接円の半径を求める有名な問題です。三角形の面積を２通り（△ABPをそのままだすか、O1A,O1B,O1Pを結んで3つの三角形を作り、その和として出す）で表し、方程式を立てれば求まります。

・（円O2の半径）
AB,APに接することから、O2は∠PABの二等分線上にあります。弧PBとの接点をQとするなら、当たり前ですがAQ=4です。（Qは円A上の点です）またABとの接点Rとします。
O2の半径r2とするならば、AO2、RO2はr2で表すことができます。三角形O2ARは直角三角形で、∠O2ARがわかっているので三角比を用いてr2が求まります。

・（円O1の面積）：（円O2の面積）
半径がわかっていれば問題ないでしょう。

・O1O2
A,O1,O2,Qは同一直線上にあります。AO2はわかっていますし、AO1を求めるのもそれほど難しくありません（∠O2ARがわかっているので）

・sin∠O3AB
これだけちょっと難しいかも知れませんね。答えを求めるのが、ではなく記述式だったら、という話ですが。
O3はABの垂直二等分線上にある（これを説明するのにちょっと考えてしまうかも。まあ△O3ABが二等辺三角形であることを言えばよさそう）ので、円O3とABの接点をSとすると、AS=2です。O3の半径r3とするとO3S,AO3共にr3で表せるので三平方の定理からr3が求まります。r3が求まれば後は三角比の定義を使うだけです。

・△O3ABの外接円O4の半径
正弦定理で終わりです。

・△O3A´Bの面積の最大値
この問題は言い換えると、「半径r4の円の中にO3,A',Bがある。O3B=○○を満たす時、△O3A'Bの面積の最大値は？」という問題であることがわかります。さらに言い換えると、
「底辺の長さが○○の時、三角形の面積は何で決まる」とも言えます。当然「高さ」ですよね？
じゃあO3Bを底辺と見た時高さはどこかと言えば、A'から直線O3Bに下ろした垂線の長さ、言い方を替えればA'と直線O3Bの距離です。ということで、A'をO3Bからもっとも遠いところにもっていけばいいですね。

記述式ならもっとまじめに考えないと答えが書けなさそうですが、マーク式なら雰囲気（AB,弧AP,弧BPからなる図形って左右対称だし、O3はABの垂直二等分線上じゃね？とか、A'はO3Bから遠いところにもっていけばよくね？とか）でいいでしょう。

参考になれば幸いです。

補足

丁寧な解説、ありがとうございます。
この問題は問題形式としてはマーク型ですが、
板書をしなければならないため、
記述をふまえながら解答する必要があり、
正確な答えを導く必要があります。

お手数をおかけいたしますが、
解答を書いていただけるとありがたいです。