数学３の教科書の問題で、基本事項の質問があります

質問

教科書では以下のように書かれてます。

[問題]y=x+√(4-x^2)の最大値最小値を求めよ。

[回答]定義域は4-x^2≧0より-2≦x≦2である。
y'=1-x/{√(4-x^2)}={√(4-x^2)-x}/{√(4-x^2)}
y'=0とすると
√(4-x^2)=x・・・（＊）
両辺を２乗すると4-x^2=x^2
（＊）よりx≧0であるからx=√2
よって-2≦x≦2におけるyの増減表は以下のようになる。・・・（後略）

[質問１]y'を求めるとき、省略せずに書くと、定義域のはしのx=±2では微分不能だから「-2＜x＜2において、y'=・・・」という考えであってますか？

[質問２]y'=0となるxの値を見つけた後、教科書では書いてませんがy'の増減（どの範囲で負、どの範囲で正か）を調べないといけませんよね？その求めかたは私は式変形をして、以下のように考えてます。

　y'={√(4-x^2)-x}/{√(4-x^2)}の正負は、分母≧0（質問１によると＞0のほうが正しいですか？）であるから分子の正負と一致する。

　よって分子について√(4-x^2)-x≧0・・・（＊＊）とすると、
√(4-x^2)≧x
0≦x≦2のとき√(4-x^2)≧x ←→ 4-x^2≧x^2 ∴0≦x≦√2
-2≦x＜0のときすべてのxで（＊＊）はなりたつ。

よって√(4-x^2)-x≧0　←→ -2≦x≦√2
書くと長ったらしいのですが、でもy'の正負を調べるにはこうするしかないですよね？他に簡単な方法があって、教科書は省略しているのでしょうか？

長文ですみません。分からないのでぜひ教えてください。よろしくおねがいします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

[質問１]
それで合っています。

[質問２]
-2＜x＜2でy'=0となるのは、x=√2のときだけです。

y'は-2＜x＜2で連続ですから、
-2＜x＜√2と√2＜x＜2におけるy'の符号はその区間の中では同じです。

つまり、区間内の適当な１つだけを調べればその区間の増減が分かります。

x=0のとき、y'=1>0
x=√3のとき、y'=1-√3<0
なので、
-2＜x＜√2では、y'は正
√2＜x＜2では、y'は負
ということになります。

お礼

たしかに、まともにとかなくても、y'=0となるxのそばの値で正負の具合がわかりますね！ありがとうございました。

回答No.2

mis_take

[1]
単に
y=x+√(4-x^2)
と書いてあれば，定義域は -2≦x≦2 と考えます。

同様に
y'=1-x/√(4-x^2)
の定義域は，-2<x<2 と考えます。

ですから，特に
-2<x<2 において y'=...
と断らなくても構いません。

[2]
直線 y1=x　と半円 y2=√(4-x^2) から y=y1+y2 を描くと大体の形がわかります。
また，f(-2)=-2，f(√2)=2√2，f(2)=2 からも　／　＼　であることがわかります。
増減表をかく目的を考えると，f'(x)<0 を真っ向から解く必要はありません。

お礼

ありがとうございます。疑問が解決しました。
今回のグラフは直線と半円のグラフから予想ができますね。しっかり覚えておきます。