二階同次微分方程式が存在しないことの証明

質問

二階同次微分方程式　y''＋p(x)y'＋q(x)y＝0　に関して次の設問に答えなさい。
(1)y＝y1、y＝y2を解としてもつとき、ロンスキアンの定義を示しなさい。

(2)x^3と|x^3|を共に解としてもつ二階同次微分方程式は存在しないことを証明しなさい。

とある教科書の例題です。
（１）の方はロンスキアンの定義の説明だから対処できますが、
（２）の方は、絶対値が絡んでいることもあり、
私の現在の理解では、十分な証明をすることができません。
よろしければ、お答えいただきたいと存じます。

回答No.1

178-tall

>二階同次微分方程式　y''＋p(x)y'＋q(x)y＝0　に関して次の設問に答えなさい。
>(1)y＝y1、y＝y2を解としてもつとき、ロンスキアンの定義を示しなさい。
>(2)x^3と|x^3|を共に解としてもつ二階同次微分方程式は存在しないことを証明しなさい。
>（１）の方はロンスキアンの定義の説明だから対処できますが、
>（２）の方は、絶対値が絡んでいることもあり、私の現在の理解では、十分な証明をすることができません。

ならば (2) だけ…。

その同次方程式の一解が y1 = x^3 だとして、y2 = |x^3| を想定。
x≧0 と x<0 の二域を想定すれば、
　x≧0 にて y1=y2
　x < 0 にて y1=-y2
なので、y2 も同次方程式を満たす。
(つまり、解にはなっている)

けど「ロンスキ」テストをかけると、x の全域にて零値。
つまり y1, y2 は互いに独立じゃない。
…のでチャンと「本ボシの独立解をさがせ」という意味なのでしょうネ。