【数学】集合に関する問題

質問

集合に関する問題だと思うんですが考え方が解らず挫折中です…。

・全体数は１００。
・男６０女４０
・日本人７０外国人３０
・外国人は女の方が多い。

このような集合から６０名を選んだとき、半数以上が女性であったとする。
このとき、選んだ６０名の中にいる日本人の人数が取りうる範囲を求めよ。

似たような問題を取り扱ってる参考書、サイトも教えて頂けると嬉しいです。

よろしくおねがいします！

回答No.9

hrsmmhr · ベストアンサー

このようになりました
f^w=40-j^w>15
j^w<25,x^j^w<25
x^w>=30(x^m=<x^wでx^m+x^w=60より)
x^f=x^f^w+x^j^w>30-25=5,x^f^w>5
j^m=70-j^w>45
f^m=60-j^m<15,x^f^m<=f^m<15
x^jの範囲は
x^j=60-x^f>=30(f=30より)
x^j=60-x^f<60-x^f^w=55
30<=x^j<55

かなりあなたの分析に依存してます
x^j=60-x^fでx^f^mとx^f^wがとりうる値を考えました
x^f^w>5とx^f^m<15とx^f<=30しか出てこないので
この領域で取りうるx^fを考えた結果です
一応条件は使い切ってます

お礼

お手数掛けてしまって申し訳ないです！

わかりやすく書いていただいて有難うございます！

回答No.10

hrsmmhr

x^f=x^f^w+x^j^w>30-25=5,x^f^w>5
は
30<=x^w=x^f^w+x^j^w<x^f^w+25,x^f^w>5
に訂正してください

回答No.8

hrsmmhr

すみません
まだ検討してません
ただ計算ではできると思います
最初は適当に計算してしまいましたが
男性60ならf＾m+j＾m=60
x＾f＾m+x＾f＾j<=60
のように条件を全展開してみて
重複する条件を削除し、各単積集合の条件を絞ることで正解が出せると思います

回答No.7

hrsmmhr

もうちょっと検討しました
確かにあなたの例は反例になります
f^xの下の値は今のところ正しいと思っていますが
上はx^m=60-x^w>30（(2)より）のほうが条件が厳しくて
でもこれにfをかけても制限すると小さくなるのでf^x^m>30とは言えず
おそらく０以上もありそうです

今のところは
35<=f^x<=60と思います
30となる反例がありましたら書いてもらえますか？

お礼

何度もありがとうごうございます。
x^w=30
のとき

j^m=46
j~w=24
f^m=14
f^w=16
として

j^x^m=16
j^x^w=14
f^x^m=14
f^x^w=16

としたj^x=f^x=30となると思います。

また、
f=30
w=40
であり
f^w>f^m
から
16=<f^w=<29
よって
11=<j^w=<24

であり、
、
j^x=６０のとき、半数以上が女性という条件を満たせないので
j^x<=60も成り立たなそうですが、どうですかね…

うーん、お手数掛けて申し訳ないです。

数式で解くのは難しい問題なんでしょうか…

回答No.6

hrsmmhr

指摘を忘れていましたが
x^w+f^w=2a+b+c
(xvf)^w=a+b+c
x^f^w=a
です
これらの式から次の(x+f)^w<=40を出しているのではなくて
(x+f)^w<=40はaとかbとかcとか関係なく
女性が４０人しかいないのに
女性でなおかつ選んだグループに含まれているか外人の人は40人を超えないということです

回答No.5

hrsmmhr

w=40なのでそれ以上はありません
限定をかけるとそれより小さくなります

お礼

a+b+c <= a+b+c+d　=40
ならわかるのですが、

a+2b+c <= a+b+c+d　=40
については、bとdの比較は出来ないと思われるのですが…

ちょっと考えてみました。

x^wが３０以上４０以下なので、
x^w=30,31,31,......40
とそれぞれ検討した結果

x^w=30において（つまりx^m=30）

j^m=46
j^w=24
f^m=14
f^w=16
としたとき

x^m=30をすべてj^m=46の中に含ませ x^j^m=30
j^w=24をすべてx^w=30の中に含ませ x^j^w=24

となるのでx^j=54となります。

同様に最小値も考えたところ30となったので

30<=j^x<=54

となったのですが…

回答No.4

hrsmmhr

^は”かつ”です+は単純にプラスした（集合の”または”ではありません。）
f^wとx^wは当然交わりがあるのですが、単純にf+xの人数を足すという操作を考えると
(f+x)^w=(fvx)^w+f^x^w
と考えています。
その意味ではその上のf^w+x^w>=30は書き方を間違えていますね
(fvx)^wを記述したつもりでした

お礼

なるほど！ありがとうございます！
男性、つまり女性でない「fでない」を「(f)」と表すと

fかつwかつｘ　＝　a
(f)かつwかつｘ　＝ b
fかつwかつ(ｘ)　＝　c
(f)かつwかつ(ｘ)　＝　e
とすると
a+b+c+d ＝ w =40

このとき、回答の中にある
(f+x)^w<=w<=40

は
a+2b+c <= a+b+c+d

となるのですが
bとdの大小関係はどこから導かれるのでしょうか？

何度もごめんなさい。

回答No.3

hrsmmhr

j^x=40もありますね
60-x^w>60-wに等号も要りました

回答No.2

hrsmmhr

男：m=60, 女：w=40
日本人：j=70, 外国人：f=30
f^w>15…(1)
集合：x=60
x^m+x^w=60t…(3)
x^w>=30…(2)

f^w+x^w>=30
(f+x)^w-f^x^w>=30
(f+x)^w<=w<=40なので
0<=f^x^w<=10
0<=f^(x-x^m)<=10
0<=f^x-f^x^m<=10
f^x^m<=f^x<=10+f^x^m
(1)よりf^x^m<=15,(2)よりf^x^m<=x^m<30,(3)よりx^m=60-x^w>60-w>=20
20<f^x<=25よっ35<=j^x=60-f^x<40

お礼

ありがとうございます！

「^」は∧(かつ)、「+」は∨(または)を表してるのでしょうか？

f^w+x^w>=30
(f+x)^w-f^x^w>=30

お手数おかけしますが、この部分だけでももうちょっと詳しく教えていただけたらと思います！

回答No.1

Tofu-Yo

(1)…日男○
(2)…日男×
(3)…日女○
(4)…日女×
(5)…外男○
(6)…外男×
(7)…外女○
(8)…外女×
とおいて条件整理。○は抽出した60人のこと。

しかし…あー携帯で打つとめんどくさい…

ちょっと整理してみてください。

お礼

ありがとうございます！

(１)～(８)をそれぞれa～hとおいて式たててみたんですけど、a+cの範囲を求めるまで至りませんでした…