微分積分の問題です

質問

数学の問題がわかりません。よろしければ途中計算もふくめて教えていただけないでしょうか。

１、 xy平面の単位円；x^2+y^2=1が関係する図形の面積によって、関数cos^-1xおよびlogｘを定義せよ。
また、これらの関数の逆関数であるcoszやexpzを、整級数；
ｃ0+c1z+c2z^2+・・・・・+ckz^k+・・・
によって定義せよ。

２、 ある時一斉に誕生し、経過日数ｘの２乗に比例して体重を増す動物から成る群れを考える。
群れの個体数は、死滅等で、一日あたりｒ（0<r<0.01）の割合で減少するとする。群れの
動物の体重合計が最大になる経過日数ｘを概算する（rを用いた）簡単な式を求めよ。
必要ならば、log(1-ｒ)＝-r+o(r)を用いよ。

よろしくお願いします。

回答No.1

quift

cosやcosの逆関数（arccos「アークコサイン」）は、
単位円から切り取られる部分の面積と、円周の長さ（radian「ラジアン」）の
関係で図示できます。
下のページの一番上の図を見れば分かります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E9%96%A2%E6%95%B0

対数関数を単位円で定義するやり方は、分かりません。
二次曲線xy=1のグラフによって囲まれる部分の面積を使えば定義できますが．．

で、cos(x)やexp(x)の級数展開ですが、
これは下のページにも書かれていますが
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F
cos(x)=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+...
exp(x)=Σx^k/k!(k=0から∞)
になります。
exp(x)のほうは、何回微分しても同じ形になることからテイラー展開した時の
各項の係数が求まります。
eの定義式(1+h)^nから(1+h)^nxを二項展開しても同じ結果になります。
で、cosのほうは
cos(0)=1と、二回微分するとマイナスがつき、４回微分すると元に戻る性質から
テイラー展開した時の各項の係数が求まります。
オイラーの公式e^(iθ)=cosθ+isinθを使えばexp(x)の級数展開から求めることもできます。

２番目の問題ですが、
初期の質量和をM0、これがx日後にkx^2（kは比例定数）だけ増えるとすると
x日後の質量和は
(M0+kx^2)(1-r)^x
です。
rは小さいので
(1-r)^xを二項展開すると初めの二項以外は無視できます。つまり1-xrですね。
だから、三次関数
(M0+kx^2)(1-xr)の最大値を求めればいいです。