微積分の質問です

質問

よろしくお願いします。
微分積分の問題で

関数y=log(x^2)と関数y=2logxとは定義域が異なるので同じ関数ではない。

とあったのですが、上の定義ってあっていますか？

回答No.4

quaRk-6 · ベストアンサー

対数関数では、真数(logの中身の数、前者ならx^2、後者ならx)は正の数です。
そもそも対数関数の意味ですが、
x=e^y(e=2.71828…、所謂"自然対数の底"ってやつです)
のとき、y=logxとなるのは数IIの常用対数と一緒です。
指数関数について、
e^(-1)=0.3678…
e^(-2)=0.1353…
・・・
e^(-10)=0.000045…
e^(-100)=0.00000000…00372…
となって、yをいくら小さくしてもxは決して０には届きませんし、負の数にはなりません。
つまり、xが0以下になるような実数のyは存在しないのです。

次に、定義域についてですが、
y=f(x)で、yが決められた範囲(これを値域といいます)に存在するようなxの値の範囲をf(x)の定義域と言います。
値域の指定がない場合、実数全体を値域とすることが多いです。
例えば、y=√xの場合、値域を実数全体とすれば定義域はx≧0となりますよね。
先に述べたことより、y=logxは値域を実数全体とすれば、定義域はx＞0となるのが分かりますね。

それでは、問題の２つの関数に戻りましょう。値域の指定がないので、値域は両方とも実数全体です。
まず、y=log(x^2)の方です。
y=logxの定義域はx＞0なので、この場合x^2＞0ならばよいですよね。
x^2＞0
x＜0,0＜x
つまり、定義域はx≠0となります。

次に、y=2logxの方ですが、これは真数は正なので(前述)、x＞0が定義域です。

x≠0とx＞0は明らかに違う範囲を指していますよね。これが定義域が異なる、ということです。

具体的な例を挙げてみましょう。
y=log(x^2)はx=-1のとき、
y=log{(-1)^2}
=log1
=0
ですが、
y=2logxはx=-1のときyは定義できませんよね。

ところで、同じ関数ならば同じxに対して同じyが出てくるはずですよね。
しかし、問題の２つの関数は同じx=-1に対して前者はy=0という値が出てきましたが、後者はyが定義できませんでした。

つまり、この２つの関数は同じ関数ではない、ということです。
質問等ありましたら補足にお願いします。

お礼

返事おくれました。
親切に説明していただき本当にありがとうございます！
まだ理解している途中なのですが（情けない・・）、とても参考になりました！
本当に基礎の基礎から解説していただいて・・感謝です！
ありがとうございました。

回答No.3

mister_moonlight

＞定義域は違うってことでしょうか？

ここまで教えて、それでも自分で判断できないようでは、数IIIの前に数Iを復習しなさい。

お礼

何度も解答して頂いてありがとうございました！
今はなんとか前よりも理解したと思います。
ありがとうございました！

補足

本当に申し訳ありません。
正直な話理解できていないです・・・。

もうちょっと考えてみます・・・。

回答No.2

mister_moonlight

＞という事は両方とも定義域は同じという事でいいんでしょうか？

x≠0　と　x＞0　が同じだって！

補足

親切にありがとうございます！

つまり
(1)y＝log(x^2)の定義域は正の数も負の数もあるってことですか？

(2)y＝2logxの定義域は　x＞0。
↑これは正の数だけってことなのでの定義域は違うってことでしょうか？

回答No.1

mister_moonlight

＞関数y=log(x^2)と関数y=2logxとは定義域が異なるので同じ関数ではない。

y＝log(x^2)の定義域は　x^2＞0　→　x≠0.
y＝2logxの定義域は　x＞0。

以下、自明。

補足

お返事ありがとうございます！

という事は両方とも定義域は同じという事でいいんでしょうか？
(基礎すぎて申し訳ありません・・・)