三次関数、四次関数の概形について

質問

なぜ3次関数、4次関数はあのような形をしているのですか？
1次関数、2次関数は式からグラフの形を想像できるのですが、3次関数や4次関数はそれが出来ません。
yの値が増加から減少(減少から増加)に変わるのはxの値がどういうときなのですか？

それともうひとつ疑問があります。
y=(x-a)^n のグラフはy=x^n のグラフをx軸方向にaだけ平行移動したものである。
という文章をよく見るのですが、理屈がよくわかりません。
どうしてそうなるのか教えてください。
y軸方向に平行移動、の理屈は理解できるのですが、x軸方向に平行移動といわれるとイメージが湧きません……。

よろしくお願いします。

回答No.4

naniwacchi

#3の者です。
長文になりますので、分けて書き込みします。

＞yの値が増加から減少(減少から増加)に変わるのはxの値がどういうときなのですか？
2次関数の場合には、y=a(x-m)^2+n と変形することで、
「定数項 nに対してどれだけ加えるかが変わることで増減の変化が決まる」
ということがわかると思います。（係数 aは正であるとしています）

同じような変形を3次関数で考えてみます。
すると、y=a(x-m)^3+p*x+q というような変形になります。
（x^2の係数までが合うように mを決めているということです）
ベースとなる3次関数（a(x-m)^3）に1次関数を加える形となり、2次関数のように単純ではなくなります。
このことが関数の概形を複雑にしていきます。

そのことをきちんと求めるために、微分を使って増減を調べるという方法をとっていきます。
ここが2次関数から飛躍している感じで気持ち悪いのかもしれません。

回答No.3

naniwacchi

＞1次関数、2次関数は式からグラフの形を想像できるのですが
逆になぜ1次、2次であれば想像できるのでしょうか？
おそらく、中学・高校の中で詳しく教わる（y切片や軸、頂点などといったこと）からではないでしょうか？
逆に、3次以上の関数については、微分・積分の範囲として詳しく（細かく）教わるところまではいかないので、慣れていないということもあると思います。

＞なぜ3次関数、4次関数はあのような形をしているのですか？
3次関数は「n字形」、4次関数は「w字形」とよく言われますね。
当然、各項(定数項、1次項、2次項・・・)の係数によっては、そうならないこともあります。
最高次数が
・奇数（1次、3次・・・）の場合は、点対称
・偶数（2次、4次・・・）の場合は、線対称
というように、一般的な概形が与えられます。

平行移動についてですが、
y軸方向の平行移動は y=f(x)+aという形で与えられますね。
これを変形すると y-a=f(x)となり、y→y-aとすることで移動を与えることができます。
これと同じことを xに対してもおこなうことになります。
すなわち、x→x-aです。

回答No.2

sugakusya

一つめの質問に関しては微分を学習すればわかるでしょう。それまで我慢するか、自分で勉強すべきだと思います。
微分を勉強すれば次のような３次関数
ax^3+bx^2+cx+d
の増減の入れ替わるxは(厳密には３次式の接線の傾きが0になるようなxは)
3ax^2+2bx+c=0 ・・・(１)
を満たすようなxということがいえます。
したがって、
x=( -2b±√(4b^2-12ac) )/6a
で増減が入れ替わります(計算ミスしてたらすいません)。
３次関数は増減が２回入れ替わるときと、一回も入れ替わらない時がありますが、それは（１）式が重解を持つか否かによります。
まあ式を見ただけではなかなかわかりませんね。

二つ目の質問は比較的簡単な話です。
f(3)=2 となるような関数f(X)があれば、
f(x-1)=2となるようなxは4です。
つまり、x=4とすることと、X=3とすることは同じであり、f(x-1)のほうがf(x)より右側でf=2となる。
グラフを見てx-1とする方が進んでいる様に見えることから不思議が生じるのだと思いますが、間違っているのはその認識で、x-1とする方が遅れています。
なぜなら上の例でxが秒数を表していると考えると、

x=3秒となったとき2となる f(x)
x=4秒となってから2となる f(x-1)

ではどう考えてもx=4となるとき2が現れる方が遅れています。

回答No.1

gohtraw

感覚的な話で恐縮なのですが私の理解は
　ｘのｎ次式をｆ（ｘ）とおき、適切な実数ａを選べばｆ（ｘ）＝ａはｎ個の実数解を持つ。ｎ＝３ならば３個だが、そのためにはｆ（ｘ）のグラフは丸みを帯びたＮ（あるいはその鏡像）のような形にならざるを得ない。ｎ＝４も同様で、丸みを帯びたＷあるいはＭのような形にならざるを得ない。
　ということです。実際にはｙ＝ｘ＾３とかｙ＝ｘ＾４などはそうなりません。数学的には抜けのある話ですがあくまで感覚的な理解なのでご容赦下さい。
　増加から減少に転じるということは、増加率（つまり傾き）がだんだん小さくなり、ついに負になるということなので、その過程で必ず傾き＝ゼロになっている点があるということです。この点が増加から減少への変わり目です。
　関数ｙ＝ｆ（ｘ）と、それをｘ軸方向にａだけ平行移動した関数ｙ＝ｇ（ｘ）を考えるとｇ（ｘ＋ａ）＝ｆ（ｘ）です。これはｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ－ａ）ということですよね？質問に書かれている例でいえばｆ（ｘ）＝ｘ＾ｎとすると、ｙ＝（ｘ－ａ）＾ｎはｆ（ｘ－ａ）、すなわち上記よりｇ（ｘ）です。