線形代数学で質問です。

質問

(1)A:m次行列
　A≠Iなのに、A^ｎ＝Iとなる例は？
　ｎ＝３，４のときについて、それぞれ考えよ。
　また、一般のｎのときにもなりたつ例を考えよ。

(2)A≠０なのに、A^ｎ＝０　(A＾(-1)≠０)　となる例をかんがえよ。

どちらでも、わかる方いらっしゃいましたら教えてください。

回答No.3

reiman · ベストアンサー

コピペミスにより修正
Pを正則なm次対角行列→Pを正則なm次行列

(1)
Bを対角成分が1のn乗根であって対角成分の少なくとも1つが1でないm次対角行列とし
Pを正則なm次行列としたとき
A＝P^-1BP
(2)
Bを対角成分が0であってn次以下のジョルダン細胞によって構成され少なくとも1つは2次以上のジョルダン細胞により構成されるジョルダンの標準形であるm次行列とし
Pを正則なm次行列としたとき
A＝P^-1BP

回答No.5

reiman

もし実行列に限定したいならば
（１）
xを1のn乗根としaをxの実部bをxの虚部としたとき
[a -b]
[b　a]
の形の行列の直和をBとしてPを実とすればよい
（２）
Pを実とすればよい

回答No.4

reiman

もし実行列に限定したいならば
（１）
a,bをa^2+b^2=1となる実数としたとき
[a -b]
[b　a]
の形の行列の直和をBとしてPを実とすればよい
（２）
Pを実とすればよい

回答No.2

reiman

(1)
Bを対角成分が1のn乗根であって対角成分の少なくとも1つが1でないm次対角行列とし
Pを正則なm次対角行列としたとき
A＝P^-1BP
(2)
Bを対角成分が0であってn次以下のジョルダン細胞によって構成され少なくとも1つは2次以上のジョルダン細胞により構成されるジョルダンの標準形であるm次行列とし
Pを正則なm次対角行列としたとき
A＝P^-1BP

回答No.1

hrsmmhr

(1)１のｎ乗根を対角に並べて他を０にしたらよいかと
(2)A^(-1)が存在するならA^n*{A^(-1)}^(n-1)=A=Oです
存在しないなら例えばa11=0 a12=0 a21=1 a22=0はA^2＝Oです